我错了，是$S_{ii}=0$。因为满足不可压缩流体的连续性方程。尴尬。。。:shangxue:

https://www.wikiwand.com/en/Centroid

While in geometry the word barycenter is a synonym for centroid, in astrophysics and astronomy, the barycenter is the center of mass of two or more bodies that orbit each other. In physics, the center of mass is the arithmetic mean of all points weighted by the local density or specific weight. If a physical object has uniform density, its center of mass is the same as the centroid of its shape.

其实一楼这个问题我还是有点没想明白。就是一个x方向的一维算例，出现了y方向的速度，应该如何理解..

谢谢东岳老师，我先看下你网址里面的相关内容。

是单位化的，写起来忒麻烦了没写一会我改一下。

我试了一下
\begin{equation}
P=
\left(
\begin{matrix}
1&2\\
2&3
\end{matrix}
\right)
\end{equation}
这个就可以:136:

@bestucan 感谢铁子的参考资料，已经弄明白了，之前的设置是对的。然而计算出来和试验值差异较大，总体分布的趋势一致，但数值上差了几十倍，之前听师兄说SST模型计算雷洛应力不准，计算结果来看确实不太准，也可能是我哪里设置的不对。:zoule:

@金石为开 请教一下，这个六自由度动网格问题，是考虑了流固耦合作用的吗？，对于没有形变的刚体，和FsiFoam的流固耦合求解有什么区别吗?

感谢版主哦 :146:

@bestucan 非常感谢老师指导:xinxin: 我回去试一试

@Shane 非常感谢

在评估网格质量的时候，一般常用下面4种标准进行衡量。
1 均匀性（Uniformity）
定义：网格从最小单元过渡到最大单元的速度（反之亦然）。
网格单元之间尺寸变化越缓慢，则均匀性越好，结果越精确。
一般来说，当整个计算域空间的所有网格都在同一尺寸时，均匀性是最好的。然而，在一些区域，所允许的最大网格尺寸非常小，因此，如果在整个计算域都采用这种尺度的网格将会导致过多的网格数目，这在实际应用中是不现实的。
有了这个约束，在网格划分阶段，决定从哪里开始进行网格单元增长，以多大的速率增长就非常重要了，最终目的是在保证关键位置网格解析度的同时尽可能减少总的网格数目。

2 纵横比（aspect ratio）
定义：下面两个值中较大的一个：
• 网格单元边界框各个面中最大面积和最小面积的比值
• 表达式的值：
捕获.PNG
其中，ax、ay、az是网格单元边界框各个面的面积，V是网格单元的体积
纵横比越接近1，结果越精确。
这类网格质量问题最常见于两种情景：
• 边界层网格
• 六面体网格的各向异性细化（refinement）
前者最为常见，为了捕捉近壁面处流动，需要在垂直壁面方向上布置非常精细的网格，尤其对于Yplus≈1的情形，有可能会导致纵横比高达几千。
后者常见于网格加密，譬如在模拟船体兴波时，对于自由液面处网格的加密，将导致垂向上的网格尺度远远小于纵向上的尺度。

3 正交性（Orthogonality）
定义：连接两个相邻单元中心的直线和两个单元所共面的法线之间的夹角。
越接近于0，精度越高。
在多面体网格中，正交性经常被提及，因为在有限的空间中，网格单元的形状可以有多种选择。正交性对于模拟精度具有重要影响，因为它与变量梯度、粘性和对流通量的计算息息相关。

4 偏斜度（Skewness）
定义：连接相邻两个单元中心的直线与所共面的交点，距离该面中心点的长度。
偏斜度越接近于0，精度越高。
较为复杂的几何结构加上比较粗糙的网格，是导致偏斜度大的主要罪魁祸首。同样，该因素对于结果的精确性也有很大影响，它影响着通量平衡的计算。
针对此因素，提高网格质量的方法一般是在几何较为复杂的地方，适当减小网格尺寸和增加网格密度。

advection:可以理解为平流，主要由物质浓度存在梯度引起的变化。convection：可以理解为对流，主要是由热量不均匀引起的垂直方向的对流。好像在流体力学中对这两者区别不是很大:xiabanle:

这不是用来推导离散Boltzmann方程的方法吗？Hermite expansion and Gauss-Hermite quadrature????

个人建议去看一下北大吴望一老师的流体力学第一章，看了之后推导这类方程简直小菜一碟

个人建议，看这个之前，看看icoFoam，那个是绝对的经典~:146:

各位大佬，请问CFD-DEM coupling时，流体的控制方程组求解，用耦合式解法还是分离式解法？
非常感谢！

@Zhy2022 好的谢谢！之后有时间看看论文再来填坑:high:

是的，理想气体，明天我更新下。

另外，温度本身不是守恒变量，因此，CFD一般求解守恒变量，但是温度方程通常比较简单，一些不太成熟的代码会使用温度防尘

瞎说几句：以前上高超声速课，老师说高超声速飞行器头部不怎么采用尖锐头部形式而采用钝头体，尖锐头部气动摩擦，粘性耗散产生的气动热很大，头部容易烧蚀。这个会不会就是尖锐头部温度梯度、速度梯度太大的原因

李老师，声学能否通过OpenFOAM求解

好像是分内部点（所有面都不是边界）和边界点，内部点根据cell插值（距离倒数分之一），边界点根据face插值。

在breaking wave领域，这种海浪结构，会将空气卷吸并形成很多小气泡。最近提交一个稿件，审稿人推荐我们讨论一下这方面的研究。我详细看了一下，确实有点意思。

看下图，一些实验研究已经证明，这种海浪拍打过程卷吸进的气泡具有尺寸分布。见过很多文献，都是用的DNS直接模拟研究的，结果也都能证实。

但目前我想的是，能否用PBE模型，或者其他类似模型做相关的研究。

捕获.JPG

气泡直径和分布的关系
捕获.JPG

一些参考文献

Deike, L., Melville, W. K. & Popinet, S. 2016. Air entrainment and bubble statistics in breaking waves. J. Fluid Mech. 801, 91–129.
Wang, Z., Yang, J., Stern, F., 2016. High-fidelity simulations of bubble, droplet and spray formation in breaking waves. J. Fluid Mech. 792, 307–327.
G. Soligo, A. Roccon, and A. Soldati, Breakage, coalescence and size distribution of surfactant-laden droplets in turbulent flow, J. Fluid Mech. 881, 244 (2019).
Ahmed, Z., Izbassarov, D., Costa, P., Muradoglu, M., Tammisola, O. 2020. Turbulent bubbly channel flows: Effects of soluble surfactant and viscoelasticity, Computers & Fluids 212, 104717.

我碰巧最近在看这方面的工作，打算在OKS课进行植入，中文还对不上，但是应该就是楼上说的 转捩模型。我参考的是Menter的文章A One-Equation Local Correlation-Based Transition Model，他们的参考案例也很有意思，T3A系列，单独用层流、湍流都不行，只能用附加转变的模型。下图：

捕获.JPG

@allvic 是不是可以在边界层内设监测点，得到频率分布，与T-S波的频率进行相关性验证呢？

TEMOM只展开$(v+v_1)^{1/2}$，任意阶矩展开任意阶都是泰勒的截断误差，是个原式的高阶无穷小，原式也就是$1/2$次方。
但DEMM把$(v+v_1)^k-v^k-v_1^k$也带上展开了，这个截断误差是变的，k越大，误差越大。越高阶矩，误差的量级越大，虽然是都是无穷小。

所以我觉得越高阶这个方法的优势越不明显。当然都是我猜的:135:
在提出DEMM的那篇文章里的数据也有这样的苗头，低阶矩符合很好，高阶的出点问题又修复了。
我把相关资料发给老师。

@李东岳 感谢李老师的回复，一下子就通透了

见过一些，目前也不好解释。:141:

对对对，这样是对的，我之前把应变率和湍动能搞混了，谢谢李老师了！

@东岳 请问东岳老师有关于双欧拉解决相变问题的例子吗，附带算例内没有找到有关相变的设置

你需要系统看一下流体力学的相关知识，可能你没有这方面的背景所以不太理解。对物理空间中的一块区域而言，其所包含的物理量有几种变化方式，要么它自己随时间在变化（变化率，比如密度因为温度升高降低了），要么因为有流动带它进来或者出去（对流，比如能量），要么它自己在向外扩散或者外部在向这块区域扩散（扩散，比如这一块是高浓度区域而周围是低浓度），要么这块区域中这个物理量自己在生成或者消灭（源项，比如有化学反应）。所有的这些变化，都需要满足物理学的基础即守恒定律，其数学表达就是所谓的“广义”NS方程。这里“广义”是指这个方程描述了物理量的一般过程。

phi等于1，这个方程代表质量守恒；phi等于速度，这个方程代表动量守恒；phi等于内能，这个方程代表能量守恒；phi等于某个物质的浓度，那么这个方程就代表该物质的质量守恒，等等。

感谢分享！！:146: :146:

@Hungryandfool
Operator 翻译过来叫做 ”算子“，也就是说，微分方程的空间项可以看作是不同的算子，比如 “对流”（散度），“扩散”（梯度）；
Splitting 的意义在于不同项可以相对独立的去求解，甚至采用完全不同的求解器，这样有利于提高计算效率，减小计算复杂性

同理，下述网页中都需要处理$\sum_f p_f^{t}\bfS_f$为$\frac{1}{V_\rP}\sum_f p_f^{t}\bfS_f$，均已更正，谢谢

http://dyfluid.com/rhoPimpleFoam.html
http://dyfluid.com/rhoSimpleFoam.html
http://dyfluid.com/simplefoam.html

如题。

考虑最简单的动量交换，液相：
\begin{equation}
\frac{\rd \bfU_\rc}{\rd t}=-\bfA
\end{equation}
气相：
\begin{equation}
\frac{\rd \bfU_\rd}{\rd t}=\bfA
\end{equation}
乍一看，如果$\bfA$是负的，那么会导致$\bfU_\rd$向下走（为负），$\bfU_\rc$（为正）。但是这并不符合物理，考虑一个管子的颗粒，如果颗粒向下走，必然会带动空气同时向下走。但是方程缺不是这种体现，为什么呢？

实际上，上述方程并没有写完整，完整形式应该是这样：
液相：
\begin{equation}
\frac{\rd \bfU_\rc}{\rd t}=-\bfA=-\frac{1}{\tau}(\bfU_\rc-\bfU_\rd)
\end{equation}
气相：
\begin{equation}
\frac{\rd \bfU_\rd}{\rd t}=\bfA=\frac{1}{\tau}(\bfU_\rc-\bfU_\rd)
\end{equation}
如果开始的时候$\bfU_\rc=0$，则为

请教各位老师，外力驱动的流动，常用哪些算例做benchmark，比如Poiseuille流动，非定常的Womersley流动，还有吗？

速度的物质倒数两端乘以密度，再化简，就是时间项和对流项加在一起。

密度就是单位体积的质量，速度的物质导数就是加速度。
所以时间项和对流项加在一起就是单位体积内的$F=ma$，即$F=\rho a$。这就是惯性力吧？

力分为体积力和表面力，本来表面力应该是产生相对于体心的力矩。但是无限小体积的情况下把力臂忽略了（我猜的），力矩造成的转动靠物理规则演化出来而不故意设计出来。所以左边是流体微元变化需要的力，右边是流体微元真实受到的力，两者相等，就推出来流体微元怎么变化的了。

物理意义有助于了解方程怎么来的，但是后来方程形式因为代换化简早没有了当初的模样，只能从大概上理解。像广义的源项，这个和运输方程放在一起好理解。NS方程化简到最后是三个运输方程，运输的物理量分别是密度、速度、熵还是啥。源项，就像一个无源封闭体内进来多少就出去多少，但是有了源，就兴许进来的少出去的多。就是对运输产生了扰动。

要是搁到动量方程上，比如加个源项，磁流体在磁场中受电磁力，或者离心机里受额外的等效重力。

另外粘性造成的应力是和速度有关系的吧？叫本构关系，用来区别牛顿和非牛顿流体的。系数小不打紧，只要湍流涡够多，速度够快。耗散能量的能力就很强。

@东岳 那请问东岳老师，在t=0，和t=1时刻，这个函数返回的值是什么意义呢？

只算过解析解，不知道你用的是什么方法算flowmap?

如题，这段时间在做一个分子模拟的案例，需要应用到N-S方程反求粘度，想知道这里边的一些基本思路。

\begin{equation}
\zeta =x-ct,\eta=x+ct
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\p\eta}{\p x}=1,\frac{\p\zeta}{\p x}=1
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\p\eta}{\p t}=c,\frac{\p\zeta}{\p t}=-c
\end{equation}
对任意变量关于$\zeta,\eta$的函数
\begin{equation}
\frac{\p}{\p x}=\frac{\p}{\p\eta}\frac{\p\eta}{\p x}+\frac{\p}{\p\zeta}\frac{\p\zeta}{\p x}=\frac{\p}{\p\eta}+\frac{\p}{\p\zeta}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\p}{\p t}=\frac{\p}{\p\eta}\frac{\p\eta}{\p t}+\frac{\p}{\p\zeta}\frac{\p\zeta}{\p t}=c\frac{\p}{\p\eta}-c\frac{\p}{\p\zeta}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\p^2}{\p x^2}=\left(\frac{\p}{\p\eta}+\frac{\p}{\p\zeta}\right)\left(\frac{\p}{\p\eta}+\frac{\p}{\p\zeta}\right)=\frac{\p^2}{\p\eta^2}+\frac{\p^2}{\p\zeta^2}+2\frac{\p^2}{\p\eta\p\zeta}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\p^2}{\p t^2}=\left(c\frac{\p}{\p\eta}-c\frac{\p}{\p\zeta}\right)\left(c\frac{\p}{\p\eta}-c\frac{\p}{\p\zeta}\right)=c^2\frac{\p^2}{\p\eta^2}+c^2\frac{\p^2}{\p\zeta^2}-2c^2\frac{\p^2}{\p\eta\p\zeta}
\end{equation}

二变量高斯分布：
\begin{equation}
f(u,v)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\frac{(u-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\frac{2\rho(u-\mu_1)(v-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(v-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]\right)
\end{equation}
MGF为：
\begin{equation}
m_{i,j}=\exp\left(i\mu_1+j\mu_2+0.5(\sigma_1^2i^2+2\rho\sigma_1\sigma_2ij+\sigma_2^2j^2)\right)
\end{equation}
纯矩计算方法为
\begin{equation}
\begin{split}
m_{0,0}&=1\\
m_{1,0}&=\mu\\
m_{2,0}&=\mu^2+\sigma^2\\
m_{3,0}&=\mu^3+3\mu\sigma^2\\
\end{split}
\end{equation}
假设$\mu_1=10,\mu_2=20,\sigma_1=\sigma_2=2,\rho=0.5$，有纯矩：
\begin{split}
m_{0,0}&=1\\
m_{1,0}&=10\\
m_{2,0}&=104\\
m_{3,0}&=1120\\
m_{0,1}&=20\\
m_{0,2}&=404\\
m_{0,3}&=8240\\
\end{split}
同时有混合矩
\begin{equation}
m_{i,j}=\exp\left(36\right)
\end{equation}
不行，混合矩计算方法不对

@J 把你最近学习的成果总结一下，发上来嘛

看起来很复杂的样子.... :143:

@队长别开枪 感谢感谢 😊

@东岳 谢谢李老师的回复！
我看了下跟公式（7）到（8）的过程很相似，但是为什么公式7到公式8的过程中将公式7左边第四项给略去呢？

这是用离散法求解PBE的增长过程。如果没有增长过程，如果不是离散法，就不需要这么做。a是波速，Minmod是limiter。如果Minmod目前你还不熟悉，我大体知道你的CFD基础在哪，你需要补CFD基本理论，再来看PBE:138:

@lllwonderliquid 非常感谢

@东岳 总压减小是因为速度变小，还是静压变小，或二者都有？无粘不可压的时候就是动能与压力势能的转化，是守恒的。

@Gordonaero 感谢，这两篇论文之前没有看到过。
这个动态填充的研究是想预测填充以及降温时间吗？关于这方面管道预冷的研究，之前看过国内的西交大有做这方面的研究，包括实验与数值计算。
按照我的理解，这个均相模型将混合物作为一种赝流体，封闭的关键其实是混合物的状态方程以及如何将混合物拆解成气液两相的比例。