求矩阵的逆一定要经过阶数的3次幂操作？

[李东岳]

最近要植入矩阵算法，这篇文章中大大缩短了矩阵乘积和逆的操作。碰巧的是，这篇文章只有3页，2个参考文献，至今已经被引用2000多次。

http://download.springer.com/static/pdf/248/art%253A10.1007%252FBF02165411.pdf?originUrl=http%3A%2F%2Flink.springer.com%2Farticle%2F10.1007%2FBF02165411&token2=exp=1489410715~acl=%2Fstatic%2Fpdf%2F248%2Fart%25253A10.1007%25252FBF02165411.pdf%3ForiginUrl%3Dhttp%253A%252F%252Flink.springer.com%252Farticle%252F10.1007%252FBF02165411*~hmac=73b286a86d1451d73868cb4afa2f1c0cf54b2c070fbef3273de8dee3a8aa839d

[random_ran]

操作的定义是什么？

C++有很多与矩阵相关的库（Boost.uBLAS ，Blitz++...等）。

[程迪]

@李东岳

• 常见的问题是求$\mathbf{A}\cdot \mathbf{x}=\mathbf{b}$中的$\mathbf{x}$，可以有直接解法（如LU），也可以用迭代法（如Gauss-Seidal），求逆矩阵肯定是下下之选，原因有几点：
  • 操作太多，$O(N^3)$;
  • 稀疏矩阵的逆矩阵不是稀疏的；
  • 你要求得$\mathbf{x}$还要再乘一次，$O(N^2)$
  • 逆矩阵求了之后没有用，因为CFD方程组是非线性的，每次求的矩阵$\mathbf{A}$都不一样，所以你求得的逆矩阵只用一次，下次迭代又得重新求解。如果是针对线性问题，每次针对不同的$\mathbf{b}$求对应的$\mathbf{x}$，用逆矩阵还勉强说得过去。
• 现代的CFD程序似乎迭代法用得更多，JFNK, IDR(s)，最不济还有CG和BiCGSTAB.有的连矩阵都不需要组装，何苦去求逆...