有限体积怎么算的Limiter中那个梯度比例r之类的东西？

[程迪]

如题，感觉文献里limiter有几种吧，一个是梯度限制器，gradient limiter，$\mathrm{\nabla }{a}_c=\varphi (r)\mathrm{\nabla }a$，还有一个是通量限制器，flux limiter, $f_c=f_{lo}+\varphi (r)f_{ho}$，$f_{lo}$是低阶的low order flux，比如upwind flux，$f_{cd}$是高阶的high order flux，比如中心差分，然后$\varphi (r)$是限制器函数。

到底有啥联系没？特别是对于非正交的有限体积的多面体网格，具体怎么搞的？因为只有网格面两边的信息呀。

而且我发现OF里没有fvm::grad，只有fvc::grad，感觉这玩意儿太扯了，至少Gauss cell based 应该可以做成fvm::grad吧。

[程迪]

@程迪
for example
mplementation of semi-discrete, non-staggered central schemes in a colocated, polyhedral, finite volume framework, for high-speed viscous flows DOI: 10.1002/fld.2069
里公式11是酱紫的：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& r=2\frac{\mathbf{d}\cdot (\mathrm{\nabla }\varphi {)}_P}{{\varphi }_N-{\varphi }_P}-1\end{array}$$

${\varphi }_P,{\varphi }_N$分别是当前单元P和临近单元N的标量$\varphi$的值。$\mathbf{d}$是P网格中心到N网格中心的矢量。

but，这破玩意儿没给出处，都不知道是咋来的。。。

[程迪]

参考
https://www.nas.nasa.gov/assets/pdf/techreports/2005/nas-05-007.pdf

slope limiter等价于flux limiter，在FVM的REP过程中更natural...

[李东岳]

手机不能看pdf, 问题解决了？看你一楼那个gauss cell based很熟悉，因为最近在整理fluent指南里用到了这个词，opwnfoam植入了这个只不过是显性的。如果你要做隐形的，如果是压力方程grad(p)无解，如果是速度方程+fvm::grad(p)这需要耦合求解了。extend里面有。在底层植入了blockMatrix. 同样旋度隐形操作也不好处理。

[程迪]

@李东岳

没，还是不知道那个公式咋来的，不过基本解决了flux limiter 和slope/gradient limiter的等价关系问题。

但是这玩意儿也是个大坑，对于多维网格带skew和non-uniform的情况，限制器设计和计算量都挺大。

OpenFOAM具体实现还没看太懂。有一个先有鸡还是先有蛋的问题，到底是interpolation先调用gradient呢？还是gradient调用interpolation？

我看的文章里是先leastSquare算gradient，不用Gauss的情况下是不用插值的。然后interpolation可以用一些limited gradient。

暂时只看懂了cellLimited, faceLimited没看懂。