LES介绍的文章的一个公式

[一二]

@李东岳 李博好，最近浏览您的CFD中的LES湍流模型一文。发现您的Smagorinsky模型(公式18)中注释的内容 $\frac{1}{2}{\tau }_{ii}{\delta }_{ij}$经常和压力$p$结合在一起形成过滤压力 这段话，是不是应该是$\frac{2}{3}{k}_{SGS}\delta ij$与压力$p$结合在一起？$\frac{1}{3}\tau ij$按照Smagorinsky的假设${\tau }_{ij}-\frac{1}{3}{\tau }_{ii}\delta ij=-{\mu }_{SGS}\overline{S_{ij}}$应该合并到了过滤速度的剪切变形律里面了吧。
后面的Smagorinsky亚格子模型，文献中给出的那个模型也是通过局部平衡假设得到的，也就是
$$\begin{array}{}\text{(1)}& \overline{\mathbf{S}}:\tau +C_e\frac{k_{sgs}^{1.5}}{\mathrm{\Delta }}=0\end{array}$$
这一公式跟OpenFOAM中的源代码也完全一致:angry:

    volSymmTensorField D(symm(gradU));
 
    volScalarField a(this->Ce_/this->delta());
    volScalarField b((2.0/3.0)*tr(D));
    volScalarField c(2*Ck_*this->delta()*(dev(D) && D));
 
    return tmp<volScalarField>
    (
        new volScalarField
        (
            IOobject
            (
                IOobject::groupName("k", this->U_.group()),
                this->runTime_.timeName(),
                this->mesh_
            ),
            sqr((-b + sqrt(sqr(b) + 4*a*c))/(2*a))
        )
    );

我看到您贴的一个$k_{SGS}=2\frac{C_k}{C_e}{\mathrm{\Delta }}^2\overline{S_{ij}^2}$，不知道这个有没有相关出处？

[李东岳]

感谢反馈，有关过滤压力来自于这里，其他有关OpenFOAM公式对应部分，我查看一下然会再回帖。

[李东岳]

CFD中的LES湍流模型内容已更新，你提出来的kSGS应该是我当时求解方程推出来的，有误，已更正，并做内容增补。

非常感谢！

参考文献有很多都需要引用，但是网页版本引用太麻烦了，排版很费事，一直没有解决的办法。主要是序号的问题，一旦从第一篇参考文献开始重新排列序号，全文序号都需要手动排。

[一二]

@李东岳 我自己推了一下，那个不可压的时候确实是你那个结果，我搞错了

[李东岳]

也就是说求解 http://dyfluid.com/docs/LES.html 方程24 就是一楼你贴的那个kSGS？

[李东岳]

看起来是的，那个是我2016年推导的，过程并没有放在网上，暂且这样吧。如果你可以把求解二元一次函数的过程贴在这里，我非常高兴把他们放在我的网页 :-)

[一二]

嗯，下面是我推的
$$\begin{array}{}\text{(2)}& \overline{\mathbf{S}}:\tau +C_e\frac{k_{sgs}^{1.5}}{\mathrm{\Delta }}=0left=\overline{\mathbf{S}}:[\frac{2}{3}{k}_{sgs}\mathbf{I}-2{\mu }_{sgs}\mathbf{d}\mathbf{e}\mathbf{v}(\overline{\mathbf{S}})]+k_{sgs}^{1.5}\frac{C_{ϵ}}{\mathrm{\Delta }}\end{array}$$
因为
$$\begin{array}{}\text{(3)}& {\mu }_{sgs}=C_k\mathrm{\Delta }\sqrt{k_{sgs}}left=\overline{\mathbf{S}}:[\frac{2}{3}{k}_{sgs}\mathbf{I}-2C_k\mathrm{\Delta }\sqrt{k_{sgs}}]+k_{sgs}^{1.5}\frac{C_{ϵ}}{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{k_{sgs}}(\frac{C_{ϵ}}{\mathrm{\Delta }}{k}_{sgs}+\frac{2}{3}\mathbf{t}\mathbf{r}(\overline{\mathbf{S}})\sqrt{k_{sgs}}-2C_k(\mathbf{d}\mathbf{e}\mathbf{v}(\overline{\mathbf{S}}):\overline{\mathbf{S}}))=a{k}_{sgs}+b\sqrt{k_{sgs}}-c=right=0\end{array}$$
其中
$$\begin{array}{}\text{(4)}& a=\frac{C_{ϵ}}{\mathrm{\Delta }}b=\frac{2}{3}tr(\overline{\mathbf{S}})c=2C_k(\mathbf{d}\mathbf{e}\mathbf{v}(\overline{\mathbf{S}}):\overline{\mathbf{S}}\sqrt{k_{sgs}}=\frac{-b+\sqrt{b^2+4ac}}{2a}\end{array}$$
当为不可压缩流体时$tr\overline{\mathbf{S}}=0$,那么$b=0$、$c=2C_k(\overline{\mathbf{S}}:\overline{\mathbf{S}})$,就可以得到$k_{sgs}=\frac{c}{a}=\frac{2C_k||\overline{\mathbf{S}}|{|}^2\mathrm{\Delta }}{C_{ϵ}}$

[一二]

@李东岳 看来是这样的，当初你写的那个ksgs还是对的

[李东岳]

已更新，非常感谢！

[winsway_zero]

@东岳 东岳老师，有个小问题咨询一下。就是
$$\begin{array}{}\text{(5)}& {\nu }_{\mathrm{S}\mathrm{G}\mathrm{S}}=\rho {\left(C_{\mathrm{S}\mathrm{G}\mathrm{S}}\mathrm{\Delta }\right)}^2\sqrt{\frac{1}{2}(\mathrm{\nabla }\overline{\mathbf{U}}+\mathrm{\nabla }{\overline{\mathbf{U}}}^{\mathrm{T}}):(\mathrm{\nabla }\overline{\mathbf{U}}+\mathrm{\nabla }{\overline{\mathbf{U}}}^{\mathrm{T}})}\end{array}$$
中的应变率张量数值格式在使用投影法计算时应该为显式吧？

[李东岳]

@winsway_zero 肯定是显性

我最近在想为什么不直接植入这个更简单的Smagorinsky方程：
$$\begin{array}{}\text{(6)}& {\nu }_t=(C_s\mathrm{\Delta }{)}^2\sqrt{\mathbf{D}:\mathbf{D}}\end{array}$$

[李东岳]

@李东岳 看来只能植入实测一下..

[李东岳]

[gtian]

@一二 在 LES介绍的文章的一个公式 中说：

嗯，下面是我推的
$$\begin{array}{}\text{(7)}& \overline{\mathbf{S}}:\tau +C_e\frac{k_{sgs}^{1.5}}{\mathrm{\Delta }}=0left=\overline{\mathbf{S}}:[\frac{2}{3}{k}_{sgs}\mathbf{I}-2{\mu }_{sgs}\mathbf{d}\mathbf{e}\mathbf{v}(\overline{\mathbf{S}})]+k_{sgs}^{1.5}\frac{C_{ϵ}}{\mathrm{\Delta }}\end{array}$$
因为
$$\begin{array}{}\text{(8)}& {\mu }_{sgs}=C_k\mathrm{\Delta }\sqrt{k_{sgs}}=\overline{\mathbf{S}}:[\frac{2}{3}{k}_{sgs}\mathbf{I}-2C_k\mathrm{\Delta }\sqrt{k_{sgs}}]+k_{sgs}^{1.5}\frac{C_{ϵ}}{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{k_{sgs}}(\frac{C_{ϵ}}{\mathrm{\Delta }}{k}_{sgs}+\frac{2}{3}\mathbf{t}\mathbf{r}(\overline{\mathbf{S}})\sqrt{k_{sgs}}-2C_k(\mathbf{d}\mathbf{e}\mathbf{v}(\overline{\mathbf{S}}):\overline{\mathbf{S}}))=a{k}_{sgs}+b\sqrt{k_{sgs}}-c=right=0\end{array}$$
其中
$$\begin{array}{}\text{(9)}& a=\frac{C_{ϵ}}{\mathrm{\Delta }}b=\frac{2}{3}tr(\overline{\mathbf{S}})c=2\mathrm{\Delta }{C}_k(\mathbf{d}\mathbf{e}\mathbf{v}(\overline{\mathbf{S}}):\overline{\mathbf{S}}\sqrt{k_{sgs}}=\frac{-b+\sqrt{b^2+4ac}}{2a}\end{array}$$
当为不可压缩流体时$tr\overline{\mathbf{S}}=0$,那么$b=0$、$c=2\mathrm{\Delta }{C}_k(\mathbf{d}\mathbf{e}\mathbf{v}(\overline{\mathbf{S}}):\overline{\mathbf{S}})$,就可以得到$k_{sgs}=\frac{c}{a}=\frac{2C_k||\overline{\mathbf{S}}|{|}^2{\mathrm{\Delta }}^2}{C_{ϵ}}$