icoFoam中 在哪个地方体现了使用线性系统求解器？

[hongfu2233]

大家好，在“icoFoam解析”（http://www.dyfluid.com/icoFoam.html） 中，在求解速度时，在哪个地方体现了使用线性系统求解器（如 fvSolution里面的PBICG）？怎么没有看到啊，公式（14）中，系数Ap为对角矩阵，根本用不到线性求解器，直接除过去就好。有理解错的地方希望大家指出。

[李东岳]

@hongfu2233 说：

PBICG

Hi,

举例公式14，这是针对一个网格上的公式，因此如果你10万的网格，那么就是10万个公式，组成10万阶矩阵。在求解的时候可以使用矩阵求解器。

[hongfu2233]

（icoFoam解析，公式7） 中心差分不应该是这样吗（都使用同一时刻的速度，黄色标记部分），为何icoFoam使用 要预测的时间步的速度 和 当前已知的时间步上的速度 进行平均？

[李东岳]

@hongfu2233 首先我建议你看网页版，公式书写更规范并且随时更新一些小问题。预测速度$u^r$和当前时间步速度$u^n$是互相匹配的，实际上都是n时间步的速度。可以使用你的公式。但通常，教材里面用n表示已知时间步的量，如果用$u_p^n$表示要求的p点速度，有点混乱。

[hongfu2233]

多谢东岳大神啊，回到公式（14），如你所说，我若是10万网格，那么就有十万个公式，组成10万阶矩阵，Ax=b。但是仔细观察公式（14），这10万阶系数矩阵A是个对角阵啊，直接除过去就好，x=b/A，感觉没有必要用各种复杂的矩阵求解器啊。请您指点一下。

[李东岳]

@hongfu2233 简单来说（我在手机）

1. 考虑Ax=b，如果说$x=A^{-1}b$，那么你需要求A的逆，这对于大型矩阵是不现实的。你可以试试简单的5*5矩阵，求逆很费事。比如高斯消去法，缺点是占用内存大，循环步骤多。
2. 另一种是采用lu分解直接求解，但是cfd中一般是稀疏矩阵，lu分解后会破坏矩阵的稀疏性，占用大量内存。
3. 因此一般采用迭代法，进了迭代法，通常我们对矩阵进行预条件，然后各种求解技术得以应用。比如共轭剃度法，

可以看看这个: 链接文本

这部分内容在应用数学里面说的很详细，cfd书里面比较范范，你可以看看saas的有一本书，书名记不得了，只记得作者。😳

[hongfu2233]

@李东岳 多谢啊，这个我有所了解。可能我没有说清楚。仔细观察公式（14），系数矩阵A是个对角阵啊，直接除过去就好，x=b/A，感觉没有必要用各种复杂的矩阵求解器啊。

[李东岳]

@hongfu2233 a是对角阵，但是还有临点的呢。

[hongfu2233]

@李东岳 临点不都是已知的量吗（用了已知时间步的量）？正如我第二个问题所问。在“icoFoam解析”中，公式14下面一行字也写了：“仔细观察公式(14)，除了$u_p^r$均为已知。”

[李东岳]

@hongfu2233 所有和速度有关的量都进入方程左边，ap, an都在方程左边。比如:

2u1+u2=0
u1+2u2+u3=0
u2+2u3=0

提取矩阵就是:

2 1 0
1 2 1
0 1 2

[hongfu2233]

@李东岳 多谢啦，从公式14，总感觉系数矩阵是对角阵，如下式
2u1 =-u2 （此时的u2及其系数都是当前已知时间步的值）
2u2 =-u1-u3（此时的u1、u3及其系数都是当前已知时间步的值）
2u3=-u2 (同上)
提取矩阵
A=
2 0 0
0 2 0
0 0 2
b={-u2 -u1-u3 -u2}'
因为“仔细观察公式(14)，除了$u_p^r$均为已知。”可能我看的不够仔细，我再仔细揣摩一下，多谢大神解答。

[李东岳]

你的u1 u2 u3是需要求的，就是x列向量，不可以放到b，b是已知量。→_→

[hongfu2233]

@李东岳 想明白了，多谢东岳大神！