@haozhibin 稳态问题没有库朗数

请教大家，看了一些论文，为什么大家在研究圆柱绕流涡旋脱落问题时候，是研究不同雷诺数下的涡旋脱落形态？因为我通过数值模拟发现，在圆柱直径一定的时候，只有特定范围内速度的时候才会有涡旋脱落现象发生，在特定流速以外圆柱尾流区域的涡流是几乎不变的没有交替脱落现象。所以一些论文里所说的不同雷诺数下的涡旋脱落形态是既改变了速度也改变了圆柱的直径吗？51eb44d1-55c6-4bfb-ac4a-87d58f2140be-image.png7f0490c7-2424-4dfc-95d0-b73b4cd46b41-image.png 比如图片上这个论文所研究的

@yan-yf 物理过程发生的时间尺度，还有空间尺度。一般要求模拟计算的时间步小于最小时间尺度，计算总时间大于最大时间尺度。个人意见

CFX软件中有一项功能，如下图：function中可以导入txt格式数据文档
adedccb5-8885-4f1d-bb22-fcf061766085-image.png
然后expressions中可以设置表达式。这样在入口速度设置时就可以使用这个表达式。具体的算例，北京林业大学硕士学位论文有一个这样的描述：
237c3d12-8b39-413c-8001-e1e738d91bc1-image.png
所以我想请教一下fluent有类似的功能吗？因为我采用matlab生成了脉动风速，想直接以txt输入的入口的速度？

FLUX：单位时间通过单位面积上的某变量的大小:qinqin:

wiki是个大类，维基百科是一种实现形式。也有轻型的，比如 MediaWiki。要说记录知识，wiki就是为此而生的:140:

一般 wiki 都是网页形式的、服务器模式，因为一般用wiki这么规范的都是很多人一起编辑的，给很多人看的；所以跟服务器网页的模式很搭。个人笔记用wiki有点重。

看到一个图 Modeling of Fine-Particle Formation in Turbulent Flames

捕获.JPG

密度基求解器： 在密度基求解器中，求解的方程为动量方程、连续性方程以及能量方程。在求解连续性方程的时候，即为求解密度方程。在密度基求解器中，密度是主要变量，压力通过状态方程计算而来。其进一步可以分为密度基耦合类求解器以及密度基分离式求解器。密度基求解器主要用于高速可压缩流，在使用密度基求解器求解不可压缩流会导致方程变得非常刚性且难以收敛。例如密度的非常小的变动将会引起压力的巨大变化并引起求解发散。不过目前一些研究学者通过人工压缩技术等前处理方法，将密度基求解器进行拓展也可以用于计算全速流动。

Cuthill–McKee算法多见于计算图形学。对于给定的带状系统（矩阵），其带宽可以通过reordering减少来减少填入操作。Cuthill–McKee算法即为一种reordering操作，用来减少带状系统（矩阵）的带宽。在CFD中，Cuthill–McKee算法可以预处理为大型并行计算减少内存占用。

凸包的概念主要存在于计算几何学。在CFD中，凸包可用于分析带状系统的带宽。在下图中的给定带状系统（矩阵），灰色的线即表示其凸包。即使对其进行填入操作，填入的非$0$元素也在凸包之内。凸包越小，可能得填入带来的附加存储越小。

替代文字

收敛: CFD中存在各种的收敛定义。例如在CFD的矩阵求解中，通常使用迭代的方法进行求解，那么收敛则表示矩阵迭代的解逼近于解析解。在CFD的算法中也存在收敛标准，例如在稳态计算的速度-压力耦合中，通常采取迭代的方式使得速度和压力逼近真实值，SIMPLE算法是比较常见的迭代算法。对于SIMPLE算法，在收敛的时候，可以认为解已经达到稳态。

中心差分格式是一个二阶的用于评估面变量的插值格式。在中心差分格式中，面上的变量值和速度的方向无关。以速度举例，在上图中，面$p$上的$\bfU_p=\frac{1}{2}\left(\bfU_\rP+\bfU_\rE\right)$。使用中心差分格式需要满足Pe数小于2。

替代文字

可压缩性用来衡量气体到底可压缩还是不可压缩的参数。气体的总压和静压的比值定义为
\begin{equation}\label{compressibility}
\frac{p_0}{p}=1+\frac{\gamma}{2}Ma^2+\frac{\gamma}{8}Ma^4+O(Ma^6)
\end{equation}
其中$p_0$为总压，$p$为静压，$\gamma$为比热，$Ma$为马赫数。空气的$\gamma=1.4$。方程\eqref{compressibility}右边的第三项除以第二项为$\frac{Ma^2}{4}$，其在$Ma=0.2$的时候，值为$0.01$即百分之一。因此我们认为在马赫数小于0.2的时候，是可以忽略可压缩性的。

守恒形式： CFD中的方程分为不同的守恒形式，如守恒形式、半守恒、弱守恒形式等。在笛卡尔坐标系下，这些方程的本质是相同的。目前广泛使用的是方程的强守恒形式。例如速度变量的散度在笛卡尔坐标系下可以写成$\nabla\cdot(\bfU\bfU)$。再举例，速度变量的散度在笛卡尔坐标系下的非守恒形式可以写成$\bfU\cdot\nabla\bfU$。

网格雷诺数定义在每个网格点上，以$x$方向举例：
\begin{equation}
\mathrm{Re}=\frac{\delta x \rho u}{\mu}
\end{equation}
其中$\delta x$表示网格在$x$方向的举例，$u$表示在$x$方向的速度。网格雷诺数可以帮助用户寻找震荡的原因。只有网格雷诺数在一定的值以下，高阶格式的计算结果才能保证稳定。

CC控制体： 在CC控制体中，流动变量存储在有限控制体的体心。CC控制体相对于VC控制体较容易植入。更详细的介绍请参考 https://mp.weixin.qq.com/s/lU125w8CgGHYU1Qvdzm3kQ

体积力： 流体的流动通常由外力驱使。这些力主要被区分为表面力以及体积力。如果考虑CFD中的有限控制体，其中的体积力贯穿于整个流体的体积。典型的体积力为重力。在某些情况下，体积力可能会成为传输方程的主要因素。例如旋转机械下采用旋转坐标系下的旋转流。在这种情况下，合理的处理非线性源项非常重要。

伯格斯方程： 对于仅考虑$x$方向的，常密度常扩散系数，无源项无压力的情况，动量方程可以简化为：
\begin{equation}
\frac{\p u}{\p t}+u\frac{\p u}{\p x}=\Gamma\frac{\p^2 u}{\p x^2}
\end{equation}
若扩散系数为$0$，则有无粘伯格斯方程：
\begin{equation}
\frac{\p u}{\p t}+u\frac{\p u}{\p x}=0
\end{equation}
无粘伯格斯方程会从一个连续的初始场演变为一个不连续的解。这个过程类似超音速流动的激波形成过程。伯格斯方程存在解析解。

替代文字

Boussinesq假设： 存在多种情况。在湍流中，Boussinesq假设用于对雷诺应力进行封闭：
\begin{equation}
\tau=\rho\overline{u_i'u_j'}=\nu_t\rho\left(\frac{\partial\overline{u_i}}{\partial x_j}+\frac{\partial \overline{u_j}}{\partial x_i}\right)-\frac{2}{3}\rho k\delta_{ij}
\end{equation}
其中$\tau$表示雷诺应力，$\rho$表示密度，$k$表示湍流动能，$\overline{u}$表示速度的时均，$\nu_t$表示湍流粘度。Boussinesq假设将未知的雷诺应力使用时均速度来进行计算，在湍流动能以及湍流粘度可获得的情况下，使得湍流模型封闭。

有界： 有两种定义。一种为在没有源项的情况下某网格单元的值的大小受限于邻点，另一种为某求解的变量具有物理上的大小限制，例如温度变量存在下界$0$K，密度变量存在下界$0$ kg/m$^3$。对于第一种情况，矩阵的对角占优是有界的必要条件。对于对流-扩散问题，如果调用中心差分格式，对于$Pe>2$的情况下，则会导致解的越界并导致震荡。

目前存在一些特殊的处理方式来保证解的有界：

全部调用一阶迎风格式； 使用高阶格式并附加反扩散策略；

一些具体的越界汇总：
www.cfd-china.com/topic/1269/fluent进行气液混合传热模拟-温度超限制

http://www.cfd-china.com/topic/1257/fluent的周期性边界的-反常识-计算结果

http://www.cfd-china.com/topic/1190/mules-cmules-and-imules-测试

Lax-Wendroff方法为一个求解对流方程的数值方法，具有二阶精度。Lax-Wendroff方法相比迎风格式求解的结果耗散性要小得多，但可能会引起数值震荡以及相偏移。考虑1D传输方程
\begin{equation}\label{phi}
\frac{\p \phi(x,t)}{\p t}+u\frac{\p \phi(x,t)}{\p x}=0
\end{equation}
其中$\phi$表示待求的变量。Lax-Wendroff方法定义下一个时间步骤的$\phi$值计算如下
\begin{equation}
\phi_i^{n+1}=\phi_i^{n}+\frac{\Delta t}{2\Delta x}u\left(\phi_{i+1}^n-\phi_{i-1}^n\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{\Delta t}{\Delta x}\right)^2u^2\left(\phi_{i-1}^n-2\phi_i^n+\phi_{i+a}^n\right)
\end{equation}
Lax-Wendroff方法可这样证明：对$\phi(x,t)$进行泰勒展开：
\begin{equation}\label{phiT}
\phi(x,t^{n+1})=\phi(x,t^{n})+\Delta t\frac{\p \phi(x,t^{n})}{\p t}+\frac{1}{2}\Delta t^2\frac{\p^2 \phi(x,t^{n})}{\p t^2}
\end{equation}
对方程\eqref{phi}对$t$做导数有：
\begin{equation}\label{phi2}
\frac{\p^2 \phi(x,t)}{\p t^2}=-u\frac{\p^2 \phi(x,t)}{\p x\p t}
\end{equation}
对$x$做导数有：
\begin{equation}\label{phi3}
\frac{\p^2 \phi(x,t)}{\p t\p x}=-u\frac{\p^2 \phi(x,t)}{\p x^2}
\end{equation}
将方程\eqref{phi3}和\eqref{phi2}代入到\eqref{phiT}有
\begin{equation}\label{phiT2}
\phi(x,t^{n+1})=\phi(x,t^{n})-\Delta t u\frac{\p \phi(x,t^{n})}{\p x}+\frac{1}{2}\Delta t^2u^2\frac{\p^2 \phi(x,t^{n})}{\p x^2}
\end{equation}
将方程\eqref{phiT2}在$i$网格点进行离散有：
\begin{equation}
\phi_i^{n+1}=\phi_i^{n}+\frac{\Delta t}{2\Delta x}u\left(\phi_{i+1}^n-\phi_{i-1}^n\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{\Delta t}{\Delta x}\right)^2u^2\left(\phi_{i-1}^n-2\phi_i^n+\phi_{i+a}^n\right)
\end{equation}
即为Lax-Wendroff方法

适体网格： 在笛卡尔网格中，网格线和笛卡尔坐标系统平行。然而这种严格的限定导致笛卡尔网格仅能用与非常特殊的情况。适体网格不再依附这种严格的限定，其网格线方向任意。目前大部分的结构网格均属于适体网格。在有限差分法中，使用适体网格需要进行坐标变换。

双共轭梯度法： 考虑求解下面的线性系统：
\begin{equation}\label{bicg}
\mathbf{A}\cdot\mathbf{x}=\mathbf{b}
\end{equation}
如果\eqref{bicg}满足，即
\begin{equation}\label{bicg1}
\mathbf{A}\cdot\mathbf{x}-\mathbf{b}=0
\end{equation}
则有下面的函数
\begin{equation}\label{bicg2}
f(\mathbf{x})=\frac{1}{2}\mathbf{x}\cdot\mathbf{A}\cdot\mathbf{x}-\mathbf{b}\mathbf{x}
\end{equation}
其值最小。实际上，$f(\mathbf{x})$的梯度即为$\nabla f(\mathbf{x})=\mathbf{A}\cdot\mathbf{x}-\mathbf{b}$。欲求\eqref{bicg}的解，即求$f(\mathbf{x})$的最小值。在共轭梯度法中，要求$\mathbf{A}$对称且正定。

块结构网格： 调用块结构网格的计算域中，存在多个block块。块结构网格中不同的block块的界面不需要一一对应，并且block块也可以重合。block块的不重合的界面可以通过CFD的代码处理为交界面。如果block块的某些网格重合，则被称之为Chimera网格。块结构网格并不属于结构网格。

带状系统： 对于某特定稀疏线性系统，如果非零元素呈现一种带状的结构，则这个系统被称之为带状稀疏线性系统（如下图）。

替代文字

假扩散：假扩散（人工粘性）并不是一种真实的扩散行为，它是由离散方程的截断误差引起。如果方程中的扩散项作用很小（也即对流主导）的时候，低阶格式引起的假扩散或许会比较明显。实际上，所有的数值格式都会引起假扩散，格式的阶数越高，假扩散现象可以随之减轻。假扩散也会随着网格的细化而减小。如果网格线遵循流动，假扩散也会减轻。在英文中也被称之为false diffusion，numerical diffusion等。

下图即为采用迎风格式求解$\frac{\p T}{\p t}+u\frac{\p T}{\p x}=0$获得的结果，此方程具有精确解，即温度型线保持不变且按照给定的$u$移动。在上图中，给定$u>0$，即$T$的型线应该向右移动。$t=0$时刻下温度$T$具有一个尖锐的型线，随着时间的推荐，尖锐的型线逐渐被抹平。这为一种假扩散实例。

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--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/14 22:53//
==== Monodisperse ====
**单分散系统：**在单分散系统中，分散相的可以具有相同的属性，如颗粒具有相同的质量、气泡具有相同的直径等。注意区别多分散系统。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//

==== MPPIC ====
MPPIC:Multiphase Particle-In-Cell方法。MPPIC方法由[[http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0301932295000720|Andrew and O'RouRke]]在1995年首先提出用于模拟浓密气固多相流动。在MPPIC中，求解的固相方程由颗粒概率密度函数分布构成：
\begin{equation}
\frac{\p n}{\p t}+\nabla_\bfx\cdot(\bfU_\rd n)+\nabla_{\bfU_\rd}\cdot(\bfA n)=0,
\end{equation}
其中$n$为颗粒概率密度函数，$\bfU_\rd$为速度，$\bfx$为位置矢量，$\nabla_\bfx$以及$\nabla_{\bfU_\rd}$为在物理空间以及相空间的散度，$\bfA$速度变量的连续变化项：
\begin{equation}\label{A}
\bfA=-\nabla p+\rho_\rd\bfg+\frac{1}{r}(\bfU_\rc-\bfU_\rd)-\nabla_\bfx\tau,
\end{equation}
其中$p$为连续相压力，$\rho_\rd$为颗粒密度，$\bfg$重力加速度矢量，$r$为弛豫时间，$\bfU_\rc$为连续相速度，$\tau$为固相应力。

MPPIC的求解不同于DPM模型（Discrete Particle Model），在MPPIC中，同时需要计算欧拉速度场以及相分数场，但欧拉场不是通过动量方程得出，而是插值而来。粒子的位置信息通过拉格朗日方程获得。由于MPPIC中的速度在欧拉框架下处理而来，因此粒子的碰撞耦合可以在欧拉框架下处理，这样可以摒弃欧拉拉格朗日框架下颗粒耦合计算导致的过小的时间步长限制。同时，由于不需要求解动量方程，对流项引起的假扩散想象可以避免。

MPPIC区别于传统的DPM模型最重要的在于固相应力$\tau$的存在，在DPM中，对于稠密的气固流动需要对每个颗粒进行解析导致计算资源耗费较高因此只能适用于较为稀疏的气固流动。MPPIC通过模化固相应力，使得欧拉拉格朗日方法模拟稠密气固流动变得可能。

MPPIC又被称之为dense DPM模型，CPFD模型（Computational Particle Fluid Dynamic）。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/11/03 00:35//
==== Non-reflecting/Free-stream B.C. ====
无反射边界条件：边界条件的准确信息往往并不是已知的。但是在某些情况下，如可压缩流动中，某些边界条件需要能够使得压力波随意的通过且不会被反射[(Ferziger>Ferziger, J.H., and Milovan P.. Computational methods for fluid dynamics. Springer Science & Business Media, 2012.)]。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/19 15:18//

==== Normalized variable diagram ====
标准化变量图：在给出具体定义之前，首先考虑下述控制体：

[[http://php.net|{{http://dyfluid.com/svg/upwind.svg?150}}]]

在NVD中，定义一个标准化的面变量为$\tilde{\phi_p}$以及一个标准化的节点变量$\tilde{\phi_\rP}$，其通过下述公式计算：
\begin{equation}
\tilde{\phi_p}=\frac{\phi_p-\phi_\rW}{\phi_\rE-\phi_\rW},\tilde{\phi_\rP}=\frac{\phi_\rP-\phi_\rW}{\phi_\rE-\phi_\rW}
\end{equation}
这样$\phi_p$可以这样表示：
\begin{equation}
\phi_p=(1-\beta)\phi_\rP+\beta\phi_\rE
\end{equation}
其中$\beta=\frac{\tilde{\phi_p}-\tilde{\phi_\rP}}{1-\tilde{\phi_\rP}}$。给定不同的$\beta$值，具有不同的$\phi_p$值。在给定$\beta$值之后，$\tilde{\phi_p}$和$\tilde{\phi_\rP}$的关系则给定，绘制$\tilde{\phi_p}$和$\tilde{\phi_\rP}$关系的曲线即为标准化变量图。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//

==== Particle trajectory crossing ====
**颗粒轨迹交叉（PTC）**描述的是一种物理现象。在$\mathrm{Kn}=\infty$（无颗粒碰撞的情况下），在非常稀疏的流域往往会发生颗粒轨迹交叉。下图是一个典型的颗粒轨迹交叉示意图[(Marchisio, Daniele L., and Rodney O. Fox. Computational models for polydisperse particulate and multiphase systems. Cambridge University Press, 2013.)]：

{{ :ptc.jpg?200 |}}

图中颗粒自$x=1$上方注入，在$x=3.2$处颗粒进行交叉并相互穿透，继续进行传输。在有限的$\mathrm{Kn}$下，颗粒会发生碰撞，进而带来速度的多重分布，引致颗粒在越过交叉点后发生分散。PTC目前在CFD中可以使用欧拉拉格朗日方法进行较好的模拟。

==== Pelect number ====
Pe数为一个无量纲数，主要用于衡量对流和扩散的相对作用。Pe越大，对流作用越强。数学上，Pe可以表示为
\begin{equation}
Pe=\frac{\rho|\bfU|\Delta x}{\Gamma}
\end{equation}
其中$\rho$表示密度，$\bfU$表示速度，$\Delta x$表示网格单元节点值的距离，$\Gamma$表示扩散系数。Pe可用来衡量中心差分格式是否稳定。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
==== Perfect fluid ====

理想流体即为不考虑粘度的流体。理想流体可以为液体或者气体。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
==== Preconditioning ====
**预条件：**在CFD的矩阵求解中，预条件是一种数学操作。例如我们定义$P$为预条件矩阵，$P^{-1}A$则表示对矩阵$A$进行预条件操作。预条件可以降低矩阵的条件数，通过对矩阵的预条件处理使得矩阵求解有利于迭代求解。预条件可用于共轭梯度法以及多重网格法。在使用预条件的时候，预条件矩阵应该尽可能是稀疏的。Gauss-Seidel被认为是最简单的预条件处理。例如：如果要求解$Ax=b$，其相当于求解$AP^{-1}Px=b$，如果令$Px=y$，则即为求解$AP^{-1}y=b$。成功的预条件应该使得求解$AP^{-1}y=b$更快速。

另外一种预条件技术存在于密度基求解器中。密度基求解器在用于低马赫数流动的情况下方程组变得非常刚性使得方程难以收敛，在这种情况下可以通过对时间导数项乘以一个预条件矩阵对整个离散方程构建的矩阵系统进行预条件加速收敛性[(Fluent, Ansys. "17.0 Theory Guide." Ansys Inc 5 (2016).)]。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 15:07//
==== Pressure-Based solver ====
压力基求解器：在压力基求解器中，压力作为一个单独的变量进行求解。连续性方程则作为一个限制性方程用来导出压力修正方程（求解压力修正量）或者压力方程（求解压力变量）。在压力基求解器中，进一步可以分为压力基耦合类求解器以及压力基分离式求解器。压力基求解器在求解不可压缩流动的时候压力方程为一个椭圆形方程，但是在求解可压缩流动的时候变成一个双曲形方程。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//

==== Pressure-less gas dynamics ====
无压力气体动力学方程是欧拉方程的简化，方程形式如下[(Coulombel, Jean-François. "From gas dynamics to pressureless gas dynamics." Proceedings of the American Mathematical Society 134.3 (2006): 683-688.)]：
\begin{equation}
\begin{matrix}
\frac{\p\rho}{\p t}+\nabla\cdot(\rho\bfU)=0\
\frac{\p\rho\bfU}{\p t}+\nabla\cdot(\rho\bfU\bfU)=0
\end{matrix}
\end{equation}
其中$\rho$为密度，$\bfU$为速度矢量，$t$为时间。其为一个弱双曲形方程[(Chalons, Christophe, Damien Kah, and Marc Massot. "Beyond pressureless gas dynamics: quadrature-based velocity moment models." arXiv preprint arXiv:1011.2974 (2010).)]。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/17 17:35//

==== Point ====
**点：**Point通常指的是几何模型的点，其主要用于辅助网格生成，注意和vertex的区别。
==== Poisson equation ====
**泊松方程：**方程类型如$\nabla^2\phi=S$的形式被称之为泊松方程，其为一个椭圆形方程。当$S=0$的时候，泊松方程变为拉普拉斯方程。在网格生成领域，泊松方程可用来自动生成网格单元，在求解CFD方程的时候，导热以及压力方程通常为泊松方程的形式。求解泊松方程通常需要大量的计算时间，得益于多重网格方法，泊松方程的求解目前效率变得越来越高。

CFD中的压力泊松方程可以对动量方程求散度来获得。
==== Polydisperse ====
**多分散系统：**在多分散系统中，分散相的可以具有不同的属性，如颗粒具有不同的质量、气泡具有不同的直径等。注意区别分散系统以及单分散系统。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//

==== Prandtl number ====
普朗特数在CFD中通常分为层流普朗特数和湍流普朗特数。

层流普朗特数为运动粘度（近似为动量的传导率）和热扩散率（近似为温度的传导率）的比值：
\begin{equation}
\mathrm{Pr}_l=\frac{\nu}{\alpha}=\frac{\mu/\rho}{k/(C_p\rho)}=\frac{C_p\mu}{k}
\end{equation}
其中$\nu$为运动粘度（表示粘性扩散率），$\alpha$为热扩散率，$\mu$表示粘度，$k$表示热导率，$C_p$表示比热容，$\rho$表示密度。普朗特数可以用来衡量对流导热和传热的相对作用大小。空气以及其他大多数气体的层流普朗特数大约为$0.7$。

湍流普朗特数为湍流粘度（近似看作湍流涡旋的扩散率）和湍流热扩散率（近似看做温度依托湍流涡旋的传导率）的比值：
\begin{equation}
\mathrm{Pr}_t=\frac{\nu_t}{\alpha_t}
\end{equation}
其中$\nu_t$为湍流粘度，$\alpha_t$为湍流热扩散率。从实验结果来看，湍流普朗特数大约为$0.85$左右。

普朗特数定义为层流普朗特数和湍流普朗特数的加和：
\begin{equation}
\mathrm{Pr}=\mathrm{Pr}_l+\mathrm{Pr}_t
\end{equation}
在某些情况下，如果层流普朗特数和湍流普朗特数都为$1$，那么速度型线应该和温度型线相同。
==== Projection method ====
投影法：对于速度压力耦合算法，投影法起始于求解速度，但求解后的速度并不满足连续性方程，然后对这个速度进行修正。之所以这一类方法被称作投影法是因为其中的散度项被projected out。投影法中最广泛使用的是修正值法。在修正值法中，速度和压力通过修正法来进行更新而不是求解真实的速度与压力。

==== Quasi-linear ====
Quasi-linear即方程的非守恒形式。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/22 18:26//

==== QUICK scheme ====

QUICK（Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics）格式是一个三阶（均一网格）的用于评估面变量的插值格式。

[[http://php.net|{{http://dyfluid.com/svg/upwind.svg?150}}]]

QUICK格式不仅考虑左右邻点的变量值，还进一步考虑邻点上风处的变量值。以速度举例，假定速度为从左至右的方向，面$p$上的$\bfU_p=\bfU_\rP+\frac{1}{8}\left(3\bfU_\rE-2\bfU_\rP-\bfU_\rW\right)$。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//

==== Rayleigh–Bénard convection ====
瑞利-贝纳尔对流/热分格对流是一种自然现象，将流体的底部温度加热至$T_1$，当流体的下表面温度和上表面温度$T_0$的温差$\Delta T$超过临界值的时候，在流体的水平层会发生对流现象，其形成类似对流卷的样式，且这些对流卷周期性排列（如下图）：

[[http://php.net|{{http://dyfluid.com/svg/Convectioncells.svg?150}}]]

热分格对流在工程中有重要的意义，例如在某些情况下工程师需要尽可能的防止热分格对流的产生（如多层隔热玻璃），有些情况下这种热分格对流确是非常有益的（如热交换锅炉）。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
==== Realizability ====
**可实现性：**顾名思义，模型的可实现性即为保证模型预测的结果是复合物理意义的。在有些情况下，虽然解满足有界性，但是并不符合物理。可实现性在统计学理论（如CFD中的矩方法、PDF模型）等具有重要意义。若无法满足结果的可实现性，可能会导致非物理的解或者直接发散。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
==== Rhie-Chow interpolation ====
**Rhie-Chow插值：**在同位网格中，若使用常规的插值办法处理面速度（$\bfU_f=\frac{\bfU_\rP+\bfU_\rN}{2}$），会导致$2-\delta$压差。Rhie & Chow在1983年提出将面速度表示为：
\begin{equation}
\bfU_f=\frac{\bfU_\rP+\bfU_\rN}{2}+\frac{1}{4}\frac{\p^3 p}{\p x^3}
\end{equation}
通过将压力的三阶梯度项添加到面速度当中引入$1-\delta$压差，使得压力震荡消失。$\frac{1}{4}\frac{\p^3 p}{\p x^3}$这一项也被称之为压力光顺项（pressure smoothing term）或者附加耗散项（added dissipation term）。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
==== Residual kinetic energy ====
残余湍流动能的另一个对应的英文为SGS kinetic energy。其定义为
\begin{equation}
{k_{sgs}}=\frac{1}{2}(\overline {{u_i}{u_i}} - \overline {{u_i}} \overline {{u_i}} )
\end{equation}
其中上划线表示过滤后的大尺度速度。

==== Relaxation time ====
**弛豫时间：**指的是粒子在受力的情况下“适应”周围流动环境所需要的时间，可用于指示粒子对于流动变化适应能力的大小，或适应时间的长短。如果粒子最初为静止的，那么粒子则需要一段时间来达到周围流体的速度，这个时间即为弛豫时间。

如果粒子的雷诺数小于$1$，粒子弛豫时间的计算公式为：
\begin{equation}
\tau=\frac{\rho_\rd d_\rd^2}{18\mu_\rc}
\end{equation}
其中$\tau$表示粒子的弛豫时间，$\rho_\rd$表示粒子的密度，$\mu_\rc$表示周围流体的粘度，$d_\rd$为粒子的直径，弛豫时间的单位为$s$。

基于弛豫时间的定义，粒子所受的曳力可进一步定义为：
\begin{equation}
\mathbf{F}\mathrm{drag}=\frac{m}{\tau}\left(\bfU\rc-\bfU_\rd\right)
\end{equation}
其中$m$表示粒子的质量，$\bfU_\rc$表示周围流体的速度，$\bfU_\rd$表示粒子的速度。

==== Speed of sound ====
**音速：**小压强扰动的传播速度即为音速$c$：
\begin{equation}
c^2=\frac{\rd p}{\rd \rho}
\end{equation}
其中$p$表示压强，$\rho$表示密度。按照等熵定律，其进一步的可以简化为：
\begin{equation}
c=\sqrt{\gamma \frac{p}{\rho}}
\end{equation}
其中$\gamma$表示热膨胀系数。

对于理想气体，$\gamma=\frac{C_p}{C_v}$，同时$p=nRT/V$，$\rho=nM/V$，其中$R\approx 8.3145$为理想气体状态常数，$M\approx 0.0289$为摩尔质量，$n$为摩尔数。代入后有：
\begin{equation}
c=\sqrt{\gamma \frac{RT}{M}}
\end{equation}

例如$0$摄氏度（$273K$）下空气的音速约为$1.48.3145273/0.0289\approx 331$ m/s。可见理想气体中的音速只与温度有关。

在开源CFD软件OpenFOAM中，混合物的$R$通过指定摩尔质量来计算：
\begin{equation}
R=\frac{\mathrm{R_{mix}}}{\mathrm{molWeight_{mix}}}
\end{equation}

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
==== Spray ====
**喷雾：**具有很低离散相分数的分散颗粒/液滴流动被称之为喷雾。其在引擎、汽轮机、锅炉中为获得最优燃烧混合物有着很大的重要性。喷雾流的模拟需要合理的处理颗粒/液滴的形成以及输运。通常，气流采用欧拉方法来表示。颗粒/液滴用拉格朗日法来表示。气体-颗粒/液滴之间的作用采用源项的形式交互。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
==== Source term ====
**源项：**CFD中的源项是一个统称，其指的是所有不能包括在对流项、时间项、扩散项中的项。例如在VOF模型中，有动量方程：
\begin{equation}
\frac{\partial \rho \mathbf{U}}{\partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf{U} \mathbf{U} ) - \nabla \cdot \tau = C \kappa \nabla \alpha -g h \nabla \rho -\nabla p_\mathrm{{rgh}}
\end{equation}
方程左边的第一项为时间项，第二项为对流项，第三项为扩散项。$C \kappa \nabla \alpha$以及$-g h \nabla \rho$则可以归结为源项。CFD中控制方程归结为这四项可使用通用型编程求解。

==== Spalart-Allmaras model ====
Spalart-Allmaras湍流模型为一个一方程湍流模型，其求解湍流粘度参数$\tilde{\nu}$的控制方程，湍流粘度$\nu_t$可依据湍流粘度参数$\tilde{\nu}$计算而来。SA模型可表示为：
\begin{equation}
\frac{\p \rho\tilde{\nu}}{\p t}+\nabla\cdot(\rho\tilde{\nu}\bfU)=G+\frac{1}{\sigma_{\tilde{\nu}}}\left(\nabla\cdot((\mu+\rho\tilde{\nu})\nabla\bfU)+C\rho(\nabla\tilde{\nu}:\nabla\tilde{\nu})\right)-T+S_{\tilde{\nu}}
\end{equation}
其中$G$表示湍流粘度的产生，$Y$表示湍流粘度的消亡，$\sigma_{\tilde{\nu}}$和$C$为用户自定义参数，$\mu$为层流粘度，$S_{\tilde{\nu}}$为用户自定义源项。

$\tilde{\nu}$在壁面的值应为$0$，在进口处应该给定。ANSYS Fluent通过下面的方式近似的计算$\tilde{\nu}$：
\begin{equation}
\tilde{\nu}=\sqrt{\frac{3}{2}}\bfU\bfI \times 0.07 L
\end{equation}
其中$\bfU$为来流速度，$L$为水力学直径。
==== Sparse linear system ====
稀疏线性系统：

[[http://php.net|{{http://dyfluid.com/svg/sparselinearsystem.svg}}]]

一个由$N$个方程构成的系统，如果大部分的元素为$0$，那么这个系统就被称之为稀疏线性系统。在上图中，黑点表示非$0$元素，可见对于整个矩阵，非$0$元素并不多。目前对于具体多少个元素为$0$才能构成稀疏线性系统并没有公认的判断方法。一种方法为对于$N$个未知数的系统，非$0$元素占据$N$（而不是$N^2$）个左右。大型稀疏线性系统（如CFD方程离散后构成的方程组）通常使用迭代的方法进行求解。各种迭代求解算法的终极目标为降低时间或降低内存。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
==== Specific turbulence dissipation ====
$\omega$和湍流动能以及湍流动能耗散率的关系为：
\begin{equation}
\omega=\frac{\varepsilon}{k\beta}
\end{equation}
其中$k$表示湍流动能，$\varepsilon$表示湍流动能耗散率，$\beta$为自定义常数，通常取$0.09$。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
==== Spectral method ====
谱方法是偏微分方程组数值求解的一种方法，是目前精度高于有限体积法以及有限差分法的求解方法。对于有限差分法，其将求解的方程转换为网格点上的方程组。对于谱方法，其则是使用基本函数来逼近求解的解如：
\begin{equation}
f(x)\approx f_N(x)=\sum_{i=0}^N a_i\phi_i(x)
\end{equation}
其中$f(x)$表示真实解，$f_N(x)$表示谱函数求得的解，$a_i$表示谱函数系数，$\phi_n(x)$表示基本函数。谱方法的精度随着$i$而指数型增长。对于有限差分法，如果笛卡尔网格单元各个方向加密2倍则精度提高4倍，但是对于谱方法则精度提高$10^{6}$倍。然而对于非光滑的解，比如存在激波等间断，则不建议使用谱方法。

==== Spectral radius ====
谱半径即矩阵的实数特征值的绝对值（或复数的模）最大的值：
\begin{equation}
\rho(\bfA)=\max|\lambda_i|
\end{equation}
其中$\bfA$为矩阵，$\lambda_i$为对应的$i$个特征值。谱半径在CFD中主要和稀疏线性系统的迭代求解方法有关，对任意的迭代方法如
\begin{equation}
\bfx^{n+1}=\mathbf{B}\bfx^{n}+...
\end{equation}
其收敛的标准为$\mathbf{B}$的谱半径$<1$。谱半径越小，收敛越快。
==== Staggered grid ====
错位网格指得是速度存储的节点和压力存储的节点并不统一，也即速度节点和压力节点是错位的，因此这样的网格系统被称之为错位网格。错位网格提出的根本在于防止压力震荡的出现。对错位网格的离散可以引入$1-\delta$压差来防止压力震荡。但是错位网格由于在非笛卡尔网格以及复杂网格系统上实施复杂，目前在CFD软件中已经很少使用。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
==== Stiff equation ====
**刚性方程：**目前刚性方程组并没有一个统一的定义，习惯上把只有使用非常小的时间步（或积分步长）才能获得稳定解的待求方程组称之为刚性方程。

{{ :stiffequation.jpg?400 |}}

上图中，欧拉显性只有在足够小的时间步长下才会保持稳定。这在比较短的模拟时间下可以接受，但是在长时间的模拟过程中过小的时间步长并不是好的选择。

在CFD中，耦合类密度基算法在处理低马赫数流动的时候方程组变得非常刚性。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
==== Stokes number ====
**斯托克斯数：**Stokes数定义为颗粒响应时间与系统响应时间之比：
\begin{equation}
St=\frac{\tau_d}{t_s}
\end{equation}
式中的$\tau_d=\rho_\mathrm{d}d_\mathrm{d}^2/(18\mu_\mathrm{c})$，$t_s=L_s/\mathbf{U}_s$。这里的$t_s$指得是基于所研究系统的特征长度$L_s$和特征速度$U_s$的比值。当$St\ll 1.0$的情况下，颗粒紧密跟随主流，离散相模型、Mixture模型、双流体模型都适用；用户可选择计算资源消耗最小的模型（大多数情况下为Mixture模型），或者根据其他因素选择最合适的模型。当$St> 1.0$，颗粒运动将独立于主流运动，需选择离散相模型或欧拉模型。当$St\approx 1.0$，三种模型也可任选其中之一。用户可以根据计算资源消耗的大小或者其他因素选择最合适的模型。

对于有限的斯托克斯数，颗粒倾向于在涡旋处累积。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
==== Substantial derivative ====
物质导数在数学上即为对某变量做关于时间的全导数。在CFD中表示为移动的无穷小微团通过某点的时候，无穷小微团上温度的瞬时变化率。例如变量$T$的物质导数定义为：
\begin{equation}
\frac{\rD T}{\rD t}=\frac{\p T}{\p t}+u\frac{\p T}{\p x}+v\frac{\p T}{\p y}+w\frac{\p T}{\p z}
\end{equation}
其中$T$表示温度变量，$t$表示时间，$u,v,w$分别表示速度的三个方向。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/19 15:28//
==== Supersonic outflow ====
超音速出口：如果流体在出口是超音速的，所有出口的变量值需要从计算域相邻的内节点获得，即不需要指定边界信息[(Ferziger>)]。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
==== Thermal diffusivity rate ====

热扩散率为定义为：
\begin{equation}
\alpha=\frac{\kappa}{\rho c_p}
\end{equation}
其中$\kappa$为热导率，$\rho$为密度，$c_p$为比热容。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
==== Two fluid model ====
**双流体模型：**双流体模型中的每一相都具有一组动量方程和连续性方程。各相之间通过压力和相间交换进行耦合，耦合的处理方式取决于流动中相的类型。比如颗粒流和非颗粒流的处理方式就不同。对于颗粒流，是通过运动学理论获得相间的耦合特性。相间的动量交换也取决于流动中相的类型。双流体模型的应用场合有：鼓泡床、上浮、颗粒悬浮、以及流化床。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
==== Trapezoid rule ====
**梯形公式：**考虑对于对时间的积分，梯形公式认为：
\begin{equation}
\int_{t_n}^{t^{n+1}}f(t)\rd t=\frac{1}{2}\left(f(t_n)+f(t_{n+1})\right)\Delta t
\end{equation}
参考下图：

[[http://php.net|{{http://dyfluid.com/svg/trapezoidrule.svg?150}}]]

图中虚线框的面积为待求的积分，梯形公式计算的面积为灰色阴影部分的面积。类似的方法还有欧拉隐性以及欧拉显性。梯形公式为一种二阶精度的计算格式，其为CN格式的根基。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
==== Total pressure ====
**总压：**在CFD中，总压$p_0$即为静压$p$以及动压$\frac{1}{2}\rho|\bfU|^2$之和：
\begin{equation}
p_0=p+\frac{1}{2}\rho|\bfU|^2
\end{equation}

==== Turbulent energy dissipation rate ====
湍流动能耗散率定义为湍流动能在单位时间耗散为热能的速率，其单位为$\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^3=\mathrm{J}/\left(\mathrm{kg\cdot s}\right)$，表达式为：
\begin{equation}
\varepsilon=2\nu_t\overline{S_{ij}S_{ij}}
\end{equation}
其中$S_{ij}$表示形变率，$\nu_t$表示湍流粘度。若湍流符合各向同性假定，则有
\begin{equation}
\varepsilon=\nu_t\overline{\frac{\p u_i’}{\p x_k}\frac{\p u_i’}{\p x_k}}
\end{equation}
其中$u_i'$表示$i$分量的脉动速度。

在kEpsilon模型中，湍流动能耗散率的计算公式为
\begin{equation}
\varepsilon=C_\mu^{0.75}\frac{k^{1.5}}{l_m}
\end{equation}
其中$C_\mu$通常取值$0.09$，$k$为湍流动能，$l_m$为混合长。在不具有模型的情况下，$l_m$可近似估计为$0.07L$。

==== Turbulent frequency====
湍流频率用$\Omega$表示，目前对其并没有严格的数学定义。其通常由湍流动能和湍流动能耗散率计算出来：
\begin{equation}
\Omega=\frac{\varepsilon}{\beta k}
\end{equation}
其中$\varepsilon$表示湍流动能耗散率，$k$表示湍流动能，$\beta$为无经验常数，通常取值$0.09$。

==== Turbulent kinetic energy ====
湍流动能$k$可以理解为湍流的强度，其单位为$\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2=\mathrm{J}/\mathrm{kg}$，表达式为：
\begin{equation}
k=\frac{1}{2}\left(\overline{u'^2}+\overline{v'^2}+\overline{w'^2}\right)
\end{equation}
湍流强度会通过剪切、浮力等产生，也会被粘性力耗散。

==== Turbulent viscosity ====
湍流粘度：
kEpsilon模型
\begin{equation}
\mu_t=\rho C_\mu\frac{k^2}{\varepsilon}
\end{equation}
kOmega模型
\begin{equation}
\mu_t=\rho \frac{k}{\Omega}
\end{equation}
==== Turbulent prandtl number ====

湍流普朗特数为湍流粘度（近似看作动量的传导率）和热扩散率的比值：
\begin{equation}
\mathrm{Pr}_t=\frac{\nu_t}{\alpha}
\end{equation}
其中$\nu_t$为湍流粘度，$\alpha$为热扩散率。湍流普朗特数的值大体在$0.85$左右。类似的还存在普朗特数。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
==== U plus ====
$u^+$为速度和摩擦速度的比值，其为一个无量纲数。在壁面附近，其和$y^+$存在一定的经验关系构成近壁法则。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//

==== Upwind differencing scheme ====
迎风格式是一个一阶的用于评估面变量的插值格式。

[[http://php.net|{{http://dyfluid.com/svg/upwind.svg?150}}]]

以速度举例，假定速度为从左至右的方向，在上图中，面$p$上的$\bfU_p=\bfU_\rP$。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
==== Vertex ====
**点：**通常指的是网格单元的顶点，注意区别于point。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
==== Vertex centered volume ====
**VC控制体：**在VC控制体中，有限控制体的体心作为顶点，进一步的组合成小的有限控制体，流动变量存储在这个新的有限控制体的体心。注意区别它和CC控制体。更详细的介绍请参考[[https://mp.weixin.qq.com/s/lU125w8CgGHYU1Qvdzm3kQ|外部链接]]。
--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
==== Volume of fluid ====
VOF模型是一种网格固定的的表面跟踪技术。该模型用于观察两种及以上互不相融流体间的分界面。VOF模型中，两种流体共用一组动量方程，计算域中各流体的体积分数在每个计算单元上被跟踪。VOF模型的应用场合有：分层流、自由面流动、灌注、晃动，液体中大气泡的流动、水坝决堤时的水流、任意液-气的稳态或瞬态分界面问题。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
==== Voronoi diagram ====
泰森多边形：给定一个平面内的任何点，泰森多边形定义每个点内的多边形内的点距离这个点比其他点都要近。例如，给定一系列的点，在这些点中出现了火源，那么泰森多边形则是火源以相同的速度扩散构成的区域。

[[http://php.net|{{http://dyfluid.com/svg/Voronoi.svg?200}}]]

例如上图中，每个黑点周围的区域内的点距离区域内的黑点最近。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 15:07//
==== Wing ====

机翼是为固定翼航空器（包括飞机和滑翔机）提供升力的主要部件，其模仿鸟类的翅膀，维持其在空中的飞行以及提供必要的操纵力。下图是机翼剖面——翼型的不同操作用于不同的飞行条件简述：

[[http://php.net|{{http://dyfluid.com/svg/wing.svg?200}}]]

其中红色的为扰流板，前面的绿色构件为前缘缝翼，后面的绿色构件为两段后缘襟翼。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//
==== Y plus ====
$y^+$：在壁面附近，壁面应力、流体粘度是非常重要的参数。$y^+$可以用来决定粘性过程和湍流过程的相对重要性的大小，其计算公式为：
\begin{equation}
y^+=\frac{u_\tau y_\rP}{\nu}
\end{equation}
其中$u_\tau$为摩擦速度，$y_\rP$为第一个网格点距离壁面的距离，$\nu$为运动粘度。

--- //[[li.dy@dyfluid.com|Dongyue]] 2017/10/13 14:18//

==== $1-\delta$ pressure difference ====

**$1-\delta$压差：**其指的是在离散的动量方程中引入1个网格宽度的压力梯度。例如，考虑错位网格单元，离散后的速度方程可以表示为：
\begin{equation}\label{1-delta}
A_e\bfU_e=\sum A_\rN\bfU_\rN-\frac{p_\rE-p_\rP}{\delta}
\end{equation}
其中$A_e$，$A_\rN$表示离散后速度的矩阵系数，$\bfU_e$，$\bfU_\rN$表示面$e$以及临点的速度，$p_\rE$以及$p_\rP$表示$E$以及$\rP$节点的压力。在方程\eqref{1-delta}的右边的压力梯度中，分母为$\delta$，因此对于上述方程可认为引入的为$1-\delta$压差。

在使用同位网格的情况下，压力和速度的耦合方式处理不妥当会引起压力震荡的出现。问题的根本在于动量方程在离散的过程中引入了$2-\delta$压差。1983年[[https://arc.aiaa.org/doi/abs/10.2514/3.8284|Rhie-Chow插值]]方法的提出，成功的将$1-\delta$压差引入到离散的方程中。

==== $2-\delta$ pressure difference ====

**$2-\delta$压差：**其指的是在离散的动量方程中引入2个网格宽度的压力梯度。例如，考虑同位网格单元，离散后的速度方程可以表示为：
\begin{equation}\label{2-delta}
A_\rP\bfU_\rP=\sum A_\rN\bfU_\rN-\frac{p_\rE-p_\rW}{2\delta}
\end{equation}
其中$A_\rP$，$A_\rN$表示离散后速度的矩阵系数，$\bfU_\rP$，$\bfU_\rN$表示$\rP$以及临点的速度，$p_\rE$以及$p_\rW$表示$\rE$以及$\rW$节点的压力。在方程\eqref{2-delta}的右边的压力梯度中，分母为$2\delta$，因此对于上述方程可认为引入的为$2-\delta$压差。

在使用同位网格的情况下，$2-\delta$压差的出现会引起压力震荡。1983年[[https://arc.aiaa.org/doi/abs/10.2514/3.8284|Rhie-Chow插值]]方法的提出，成功的将$1-\delta$压差引入到离散的方程中。