最近发现对于全耦合求解的矩阵（foam-extend里的coupledMatrix）的确需要针对物理问题的新预条件器来加速收敛。

• 首先，face addressing的owner, neighbour和ldu addressing的lower, upper并不天然等价。face addressing描述的的网格的几何拓扑关系。而ldu addressing需要描述的的是数值拓扑关系，如果没有耦合边界，二者是等价的，但是如果有耦合边界，就有了face addressing描述不了的off-diagonal term。这就有两种处理方式：

• 在OF+1706中，有两种lduAddressing，包括fvMeshLduAddressing和fvMeshPrimitiveLduAddressing。

  • 实际上fvMeshLduAddressing是将face addressing和ldu addressing等价了，内部面的owner就是lower，neighbour就是upper。这也是最最常用的类型，可以称之为普通ldu。
  • 而fvMeshPrimitiveLduAddressing（这里的Primitive的意思是not developed or derived from anything else ）中的lower可以添加owner之外的相互作用关系。但是这个类位于overset目录下，可见它主要用于重叠网格的情况，可以称之为overset ldu。

• 而coupled BC是实现在普通ldu中。依靠两个类：coupledFvPatch和coupledFvPatchField，其中关键是他们各自继承了lduInterface和lduInterfaceField，并实现了相关函数。所以其实interface和coupled BC是几乎同样的概念。

• 从概念上讲，对于普通LDU，在有interface的情况下虽然在lduMatrix中存了upper,diag,lower矩阵系数，但是还有额外耦合项，也就是说$A=L+D+U+C\ne L+D+U$，$C$就是额外耦合项，由于数据结构设计上的限制，不能存到普通ldu的矩阵中，需要单独处理。

• 处理方式也比较简单，$C$因为也是代表cell-cell相互作用，所以主要是非对角的，因为对角的部分完全可以包含在$D$中，而且源项部分也可以容纳在原来的源项里，可以分裂为上下两部分，$C=C_L+C_U$。在lduMatrix.Amul()的操作中，计算$A\cdot x$的操作被分为$D\cdot x+(L+U)\cdot x +C_U\cdot x_n $：

  • initMatrixInterfaces: $C_L\cdot x_o$，其中$x_o$是$x$中属于耦合边界的内侧单元，计算结果要送到另一侧去；
  • all cells: ApsiPtr[cell] = diagPtr[cell]*psiPtr[cell];: $D\cdot x$
  • all faces: ApsiPtr[uPtr[face]] += lowerPtr[face]*psiPtr[lPtr[face]];: $L\cdot x$
  • all faces: ApsiPtr[lPtr[face]] += upperPtr[face]*psiPtr[uPtr[face]];: $U\cdot x$
  • updateMatrixInterfaces: $C_U\cdot x_n$，其中$x_n$只包含$x$中属于耦合边界的外侧单元；
  • 这种$C\cdot x$叫做patch Contribution。 $C_L, C_U$叫interfaceUpper, interfaceLower。

• 问：为什么$C_L,C_U$要分开处理？答：因为在存在processor边界时，$x_n$并不在本地，要通过通信获取结果，或者获取系数。

• 问：$C_L$和$C_U$存在哪儿？答：

  • class fvMatrix
    :
        public refCount,
        public lduMatrix
    {
    //...
            //- Boundary scalar field containing pseudo-matrix coeffs
            //  for internal cells
            FieldField<Field, Type> internalCoeffs_; //注意这里不是引用，是真货
    
            //- Boundary scalar field containing pseudo-matrix coeffs
            //  for boundary cells
            FieldField<Field, Type> boundaryCoeffs_; //都初始化为0；
    //...
    }
    
    

• coupled BC, interface, constraint BC等的关系：
  interface就是coupled BC，constraint BC是OF文档中的分类，其实包含了empty, wedge,symmetry等几何约束类的BC和coupled BC。coupled BC中比较重要的两类是cyclic和processor。

总的来看cyclic边界条件本身的实现应该没有问题，还挺巧妙的。

回到这个问题，我觉得可能是CFL数计算的部分可能在cyclic BC处有bug。
Courant数计算方式来看，普通Courant数和其他一样，额外多了一个Interface Courant数。里面多了个这玩意儿：

    scalarField sumPhi
    (
        mixture.nearInterface()().primitiveField()
       *fvc::surfaceSum(mag(phi))().primitiveField()
    );

    alphaCoNum = 0.5*gMax(sumPhi/mesh.V().field())*runTime.deltaTValue();

    meanAlphaCoNum =
        0.5*(gSum(sumPhi)/gSum(mesh.V().field()))*runTime.deltaTValue();

// mixture.nearInterface()()，定义是：

 Foam::tmp<Foam::volScalarField>
Foam::interfaceProperties::nearInterface() const
{
     return pos(alpha1_ - 0.01)*pos(0.99 - alpha1_);
}

可能是相边界速度太大了吧。估算一下有上万了，你的平均Courant这么小，最大Courant这么大。。。你又是这么均匀的网格。。

blocks
(
    hex (0 1 2 3 4 5 6 7) (160 320 160) simpleGrading (1 1 1)
);