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最近在学《可压缩湍流直接数值模拟》一书的过程中，学生我针对7.2.2节各向同性湍流初场设置的内容有几点疑惑，想请教一下各位老师/前辈。
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背景介绍：
根据书中7.2.2节第一部分的描述，公式(7.2.3)给出了谱空间中的速度谱${\hat v_i}$为：

\begin{equation}
{\hat v_i}\left( {{k_1},{k_2},{k_3}} \right) = \sqrt {{\textstyle{2 \over 3}}E\left( {{k_1},{k_2},{k_3}} \right)} {e^{{\rm{\hat i}}\theta }}
\end{equation}

将三维能谱${E(k1,k2,k3)}$代入上式中，并对${\hat v_i}$进行投影，得到满足散度为0的速度谱${\hat u_i}$：

\begin{equation}
{\hat u_i} = \left( {\frac{{{k_i}{k_j}}}{{{k^2}}} - {\delta _{ij}}} \right){\hat v_j}
\end{equation}

此时，由于(1)中包含有随机相位${\theta}$导致速度谱${\hat u_i}$中包含有虚数部分。我针对这样的速度谱${\hat u_i}$直接进行Fourier逆变换：

\begin{equation}
{u_i}\left( {{x_1},{x_2},{x_3}} \right) = {\left( {{\textstyle{1 \over {2\pi }}}} \right)^3}\int_{ - \infty }^\infty {\int_{ - \infty }^\infty {\int_{ - \infty }^\infty {{{\hat u}_i}\left( {{k_1},{k_2},{k_3}} \right){\rm{d}}{k_1}{\rm{d}}{k_2}{\rm{d}}{k_3}} } }
\end{equation}

所得到的物理空间域内的速度${u_i}$存在虚部。

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疑惑点：
所以我的疑惑是：

虚部在实际物理问题中意义不明，我利用上述方法所得到的物理空间域内速度${u_i}$的虚部不为0，这是否意味着我针对速度谱${\hat u_i}$直接进行Fourier逆变换(3)是一种错误的操作？
如果不能直接针对速度谱${\hat u_i}$直接进行Fourier逆变换，那么我应该采用怎样的操作才能得到物理空间域内速度${u_i}$呢？
速度谱${\hat v_i}$通过公式(2)的投影产生新的速度谱，两者模之间的大小并不相同。这会不会导致${\hat u_i}$不满足原始的能谱${ E(k1,k2,k3) }$？

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