求助：孔隙介质中流体被加热上浮过程的压力方程求解问题

[李东岳]

$\phi$ $\beta$ 都是常量？公式11好像能化简成：?
\begin{equation}
\phi \rho \beta \frac{{\partial P}}{{\partial t}} = \nabla \cdot (\rho \vec{u}) - \phi \rho \alpha \frac{{\partial T}}{{\partial t}}
\end{equation}

你的三个方程是整套的方程么？不需要连续性方程啥的么

[ChimneyFoam]

首先非常感谢东岳老师回复答疑！估计李老师您对海底黑烟囱也有了解的，这个问题其实就是模拟seafloor hydrothermal circulation（海水通过洋壳的孔隙和裂隙下渗至深部被岩浆房等热源加热，密度变小，在上浮作用力下最终喷出至海底）。

（一）$\phi$表示孔隙度是常数；$\alpha$和$\beta$分别表示热膨胀系数和压缩系数，虽然是温度和压力的函数，可以用相应的理论和公式计算出来，这里可以简化认为是个常数。

（二）确实还有一个连续性方程的（如下公式4），这几个方程和这个nature文章的method部分的公式3，4，5，6对应的。

\begin{equation}
\frac{{\partial \phi \rho }}{{\partial t}} = - \nabla \cdot \left( {\vec u\rho } \right)
\end{equation}

方程(2)也就是压力方程，是将达西速度带入这个连续性方程，然后对密度^\rho^求了对温度^T^和压力^P^的全导数得来的。

[ChimneyFoam]

@东岳
我查了一些资料和东岳流体网站上的一些solver的讲解，这个问题是不是得用这个PIMPLE算法求解，但是不确定努力的方向是否正确

[李东岳]

从Nature的文藏来看：

1. 求解压力方程：
   \begin{equation}
   \nabla \cdot \left( {\frac{{k\rho }}{\mu }\left( {\nabla P - \rho \vec g} \right)} \right) = \phi \frac{\partial \rho}{\partial t}
   \end{equation}

2. 求解速度方程：
   \begin{equation}
   \vec u = - \frac{k}{\mu }\left( {\nabla P - \rho \vec g} \right)
   \end{equation}

3. 求解温度方程

明天再详细看看，
你在研究Nature么 有前途..

[ChimneyFoam]

@东岳
太感谢了！我博士论文就是做这个流体循环并且耦合矿物反应的模拟，目前我们用的是有限元方法， 我从您的网站和论坛上了解到有限体积法和openfoam，感觉这个更有意思。所以我想用openfoam尝试做后面的模拟任务。

您的意思是说直接求解方程（8）表示的这个压力方程对吧？可否推荐一个相似的solver的求解过程或者其他相似的资料给我参考一下。看了buoyantPimpleFoam的求解跟我这个问题最相近，但是它的求解方程式N-S方程，我这个问题应该是NS方程的一个简化形式。我尝试根据您的指导把代码写出来，再请教您

[李东岳]

有几个数值问题：

• 密度变化么？可压缩？
• 如果恒定密度，压力方程非常好求，求完压力解速度就行，可以参考laplacianFoam，里面求解了个压力播送方程，跟你的压力方程差不多

[ChimneyFoam]

@东岳
我这里的流体是水（water），不可压缩。密度是变化的，$\rho=\rho(T,P)$，可以通过IAPWS方程求解得到，简化认为是温度的线性函数。

[李东岳]

如果不可压

1. 求解压力方程：
   \begin{equation}
   \nabla \cdot \left( {\frac{{k\rho }}{\mu } {\nabla P } } \right) = 0
   \end{equation}

2. 求解速度方程：
   \begin{equation}
   \vec u = - \frac{k}{\mu } {\nabla P }
   \end{equation}

3. 求解温度方程

Pretty simple

[Rui]

@东岳，李老师您好，目前自己在做气动热这块，就想求解第一张图上放的这个方程，自己编译的代码如第二张图所示，epsilonr和rhoel定义的场都是volScalarField,但编译的时候报这种错

[李东岳]

@Rui 这是laplacian操作符，而不是你写的那个：fvm::laplacian(epsilonr, rhoel)

[Rui]

@李东岳 感谢李老师回复 ，问题解决，OF小白一只，多多包涵

[李东岳]

其实也可以写成div(grad())，但是里面涉及很多问题，在我《笔记》里面有提及，在后面，你翻翻

[Rui]

@李东岳 好的，感谢李老师

[Rui]

@李东岳 李老师您好，按照您的提示我把div(grad())项改成了laplacian操作符，但是在单独求解图1所示的方程时迭代了几步之后它就挂了，图2 是我的代码，其中epsilonr、ka均是常数，rhoel定义的场是volScalarField,不知是不是自己代码编写的问题，还望李老师指点迷津

[Rui]

@李东岳 , 李老师您好，我已经在chtMultiRegionFoam中植入了第一张图所示的拉普拉斯及泊松方程，

实现了对电势在流固区域的耦合求解，但电荷的求解似乎不对，然后电场力的求解结果也和参考文章里面差的太多，但我边界设置理论上是符合文章要求的，第二张图和第三张图是我和参考文章计算结果的对比。参考文章及我的算例和编译的求解器链接放在这里：https://pan.baidu.com/s/1U8NBBon8CFVvDoF9Fsi9UA 提取码：mppz
麻烦李老师能抽空看一下，检查一下问题，不胜感激。一个头俩大