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目前我掌握的现状就是，可压缩RK有，但在耦合方式求解那一块；可压缩分离解，有，rhoPimpleFoam类的，精度不高；不可压缩RK很多，也一直在讨论压力的精度问题，最高到两阶？后面继续跟踪一下这个帖子，更新一下进展。

感谢东岳老师回复，我也正在琢磨可压缩投影法+RK算法，一个比较关键的点是推进到中间步骤时的压力方程怎么求解，dp/dt+div(U)=0这样的形式会得到带有时间到导数项的压力方程，dp/dt通过一阶欧拉隐式离散（时间应该选取Ci*delataT），能否匹配上RK的四阶精度，完成更新的压力pn+1怎么定，直接取第四阶段的p4吗？是否有弥补的精度措施？

这么看确实是这样，我理解的应该是没错。
SIMPLE类算法一个时间步内的计算包括：1.求解UEqn；2.求解压力方程；3根据压力（压力差值）修正速度，返回1直到收敛。
PISO的算法一个时间步内的一个时间内的计算包括：1.求解UEqn；2.求解压力方程；3根据压力（压力差值）修正速度，返回2重新组建预测速度并求解压力方程。
PIMPLE算法：1.求解UEqn；2.求解压力方程；3根据压力（压力差值）修正速度，返回2重新组建预测速度并求解压力方程。4.再返回1。
投影法：1.求解UEqn；2.求解压力方程；3根据压力（压力差值）修正速度。
那投影法少了这么多迭代循坏校正步骤，误差岂不是很大，也难怪统一被分到了压力校正法的大类下，差异很小。

越看越迷了，投影法 Projection methods 不需要压力梯度项构造通过线性化动量求解中间速度，通过压力泊松方程求解压力，并修正速度，一次修正搞定。那不是等于OpenFOAM中的PIMPLE 外循环=1，PISO内循环=1，关闭动量预测。但是没有进一步的压力迭代循环，那怎么解决线性化动量方程时候的动量延迟部分？

openfoam里面的rhoPimpleFOAM采用的PISO算法能适用于可压缩问题，但一直受诟病。最近在看一下投影法的文章，可以很方便实现RK4格式，但投影法是基于不可压缩的，能否推广可压缩问题，显式RK格式有没有植入到可压缩PISO的文章。

@李东岳 东岳老师，您有什么好的解决思路吗？

方程如图，等号最右端那一项是介质中气泡膨胀收缩的体积分数变化源项，会给方程引入比较大的压力变化，这种源项有什么好的处理方法。

@李东岳 感谢东岳老师解答

@李东岳 感谢东岳老师，这个审稿人应该是做高精度算法的，给的拒稿意见，对分离式求解，一阶时间精度意见比较大，比较愁人，另外他还觉得二阶TVD格式计算对流项更好，我使用的NVD gamma格式他也表示不理解，当时算的时候没太管这个，我理解的带限制的TVD/NVD格式不是差不多吗，精度介于一阶迎风和中心差分之间，不知道怎么回复了。

@李东岳 东岳老师，能不能帮忙解答一下，比较困惑，引的那两篇也是OpenFOAM做爆炸气泡比较经典的论文。

审稿人提出意见对OpenFOAM中常用的一阶时间精度与PIMPLE算法模拟水下爆炸质疑，具体如下：

1. Line 52 reads "Since the calculation of pressure wave propagation in a single medium is fully developed (Koch et al., 2016; Li et al., 2019; Miller et al., 2013; Wu et al., 2020)". Modelling pressure wave propagation remains a significant challenge for the semi-implicit methods cited here. Especially the work of Koch et al. and Miller et al. are very questionable works in this respect, as they use first-order time differencing which is arguably a poor choice if pressure waves are to be approximated accurately.
   2.Generally, the PIMPLE algorithm is widely used for pressure-velocity decoupling in incompressible flows. However, the subject of this study appears to be compressible multiphase flow. What is the purpose of using PIMPLE for pressure iteration correction in this context?
   如何回复为好。