\begin{equation}
\zeta =x-ct,\eta=x+ct
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\p\eta}{\p x}=1,\frac{\p\zeta}{\p x}=1
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\p\eta}{\p t}=c,\frac{\p\zeta}{\p t}=-c
\end{equation}
对任意变量关于$\zeta,\eta$的函数
\begin{equation}
\frac{\p}{\p x}=\frac{\p}{\p\eta}\frac{\p\eta}{\p x}+\frac{\p}{\p\zeta}\frac{\p\zeta}{\p x}=\frac{\p}{\p\eta}+\frac{\p}{\p\zeta}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\p}{\p t}=\frac{\p}{\p\eta}\frac{\p\eta}{\p t}+\frac{\p}{\p\zeta}\frac{\p\zeta}{\p t}=c\frac{\p}{\p\eta}-c\frac{\p}{\p\zeta}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\p^2}{\p x^2}=\left(\frac{\p}{\p\eta}+\frac{\p}{\p\zeta}\right)\left(\frac{\p}{\p\eta}+\frac{\p}{\p\zeta}\right)=\frac{\p^2}{\p\eta^2}+\frac{\p^2}{\p\zeta^2}+2\frac{\p^2}{\p\eta\p\zeta}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\p^2}{\p t^2}=\left(c\frac{\p}{\p\eta}-c\frac{\p}{\p\zeta}\right)\left(c\frac{\p}{\p\eta}-c\frac{\p}{\p\zeta}\right)=c^2\frac{\p^2}{\p\eta^2}+c^2\frac{\p^2}{\p\zeta^2}-2c^2\frac{\p^2}{\p\eta\p\zeta}
\end{equation}

二变量高斯分布：
\begin{equation}
f(u,v)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\frac{(u-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\frac{2\rho(u-\mu_1)(v-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(v-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]\right)
\end{equation}
MGF为：
\begin{equation}
m_{i,j}=\exp\left(i\mu_1+j\mu_2+0.5(\sigma_1^2i^2+2\rho\sigma_1\sigma_2ij+\sigma_2^2j^2)\right)
\end{equation}
纯矩计算方法为
\begin{equation}
\begin{split}
m_{0,0}&=1\\
m_{1,0}&=\mu\\
m_{2,0}&=\mu^2+\sigma^2\\
m_{3,0}&=\mu^3+3\mu\sigma^2\\
\end{split}
\end{equation}
假设$\mu_1=10,\mu_2=20,\sigma_1=\sigma_2=2,\rho=0.5$，有纯矩：
\begin{split}
m_{0,0}&=1\\
m_{1,0}&=10\\
m_{2,0}&=104\\
m_{3,0}&=1120\\
m_{0,1}&=20\\
m_{0,2}&=404\\
m_{0,3}&=8240\\
\end{split}
同时有混合矩
\begin{equation}
m_{i,j}=\exp\left(36\right)
\end{equation}
不行，混合矩计算方法不对

@J 把你最近学习的成果总结一下，发上来嘛

看起来很复杂的样子.... :143:

@队长别开枪 感谢感谢 😊

@东岳 谢谢李老师的回复！
我看了下跟公式（7）到（8）的过程很相似，但是为什么公式7到公式8的过程中将公式7左边第四项给略去呢？

这是用离散法求解PBE的增长过程。如果没有增长过程，如果不是离散法，就不需要这么做。a是波速，Minmod是limiter。如果Minmod目前你还不熟悉，我大体知道你的CFD基础在哪，你需要补CFD基本理论，再来看PBE:138:

@lllwonderliquid 非常感谢

@东岳 总压减小是因为速度变小，还是静压变小，或二者都有？无粘不可压的时候就是动能与压力势能的转化，是守恒的。

@Gordonaero 感谢，这两篇论文之前没有看到过。
这个动态填充的研究是想预测填充以及降温时间吗？关于这方面管道预冷的研究，之前看过国内的西交大有做这方面的研究，包括实验与数值计算。
按照我的理解，这个均相模型将混合物作为一种赝流体，封闭的关键其实是混合物的状态方程以及如何将混合物拆解成气液两相的比例。

SIMPLEC在这里：http://dyfluid.com/simplefoam.html
另外，@Gordonaero 可以参考这个 http://www.cfd-china.com/topic/3395

$\epsilon \rightarrow 0$ 并不是$\epsilon = 0$，否则不会有...if $u$ is smooth at $x_1$ and $x_2$...。在粘度趋向于很小的时候，不连续变成具备一定厚度的光滑解，同样承认有厚度的激波。所以
$$
\epsilon\int_\Omega\frac{\p}{\p u}\left(\frac{\p \eta}{\p u}\right)\left(\frac{\p u}{\p x}\right)^2\rd x\rd t \geq 0
$$
另外，
\begin{equation}
\int_{x_2}^{x_1}\left(\epsilon(\eta_q q_x)_x\rd x -\epsilon\eta(\eta_q)_q q_x^2\right)\rd x=\epsilon\left(\eta_q q_x|_{x=x_1}-\eta_q q_x|_{x=x_2}\right)-\epsilon\eta(\eta_q)_q q_x^2\Delta x
\end{equation}
考虑一个非常小的$\epsilon=1e-10$，在控制体内$\epsilon\left(\eta_q q_x|_{x=x_1}-\eta_q q_x|_{x=x_2}\right)\rightarrow 0$，$\epsilon\eta(\eta_q)_q q_x^2\Delta x$还是大于0.

@东岳 感谢回复。建议原文适当增加配图，这将提高可阅读性。

@东岳 Thin-Layer Navier—Stokes Approximation

http://www.cfd-china.com/topic/3005 看看这个 我不太熟悉超临界流体

@搬运工 好的，谢谢回复:yes:

牛顿内摩擦定律与stokes定律间有什么关系？二者计算壁面应力有何区别？

@Zephyr 在 有人做过Richardson diffusion的验证么 中说：

l^2 ~ t^3

这是什么

缩小模型只能保证一个无量纲数相同，一般的流动考虑雷诺数就行，缩放会带来一些非真实的物理效应，但是计算量不够就不要讲究了

Openfoam中是如何算面上的应力张量的？是先算单元体心的应力张量然后插值到面上吗？还是直接根据面上的速度梯度计算？