欧拉方程按照声速传输的特征变量

[李东岳]

前几天OKS的时候有个同学问欧拉方程是不是速度U和压力p按照声速传播。当时我给的答案是不是。在这里详细说一下这个问题。对于双曲系统
\begin{equation}
q_t+Aq_x=0
\end{equation}
其中$q$是求解的矢量，比如$[p,u]$；$_t$是对变量求时间导数，$_x$是对空间求导数，$A$是一个矩阵，但不是对角阵。双曲系统中的$A$是可以对角化的：
\begin{equation}
A=R \Lambda R^{-1}
\end{equation}
其中$R$是特征向量组建的矩阵，$\Lambda$是特征值组件的对角阵，如果定义$w=R^{-1}q$，最原始的方程就可以变成
\begin{equation}
w_t+\Lambda w_x=0
\end{equation}
这个方程式一系列解耦的双曲方程，可以所有的$w$都按照特征值的方向进行传播。因此对于欧拉方程，p和u并不是按照声速传播，按照声速传播的是$w$，$w$可通过$w=R^{-1}q$求出。

$w$也就是特征变量哦。如果感觉困惑，或许可以看看这个：http://homepages.see.leeds.ac.uk/~amt6xw/Distance Learning/CFD5020COMP/node17.html