LU-SGS求解器

[程迪]

@李东岳

这涉及到非线性误差和线性代数求解器误差的相对关系。

迭代开始前的初始残差基本可以认为是非线性误差，一般线性求解器的收敛准则都设置为下降2个量级，也就是relTol 0.01，甚至有的是relTol 0.1。大部分情况LU-SGS应该是足够了的。

其实线性代数问题只要愿意迭代，总有收敛的时候，精度只受条件数和机器精度限制，和你采用什么数值方法没关系，只是收敛效率有所区别。但是非线性问题的精度和采用的格式、步长啥的关系都比较大了。

但是即使线性代数问题解到1e-16，下一个时间步或者非线性迭代步的初始误差又回去了，通常是1e-3左右，和CFL数一般呈正相关，所以线性代数问题解到1e-16没有意义，只要解到1e-5左右就好了，CFL数越大可以考虑继续减少线性问题的求解精度。

[李东岳]

刚才看了一下一楼那个论文，从方程12,13来看应该确认了LU-SGS是一个非迭代的求解器。测试来看LU-SGS应该可以达到稳态外循环每一步收敛的要求（relTol 0.01或者0.1），但是瞬态的情况下，是需要收敛的。且在可压缩高速密度基求解器中，连外循环都没有。不过文章中说他也可以适用于瞬态算法，看起来LUSGS主要用于高速可压缩流。

另外，rhoCentralFoam中，以及一些文献中，高马赫数都要采取通量分裂处理，这个原因是什么？
在我的多相流算法中，也采用了通量分裂处理，不过我们那个的原因只是为了数值稳定，再详细的我就不在这说了有点跑题。可压缩流中不进行通量分裂会如何？

我再仔细看看那个文章再继续讨论。

[程迪]

@李东岳

高速采用通量分裂是为了在某个特征方向上搞成上风。不然激波、接触间断啥的搞不定。

不分裂，纯上风也没问题呀，

[李东岳]

抱歉最近在准备一些课程资料，这个我看看这周末有没有时间详细看看，嘿嘿。

[youmengtian]

最近着手做matrix-free的LU-SGS实现，本质上是不需要matrix数据结构的。但同时也遇到多重网格如何与之协同工作的问题。目前还只是尝试阶段，希望顺利

[程迪]

@youmengtian
感觉MG和LUSGS好像不是一路的吧。不过LU-SGS当个smoother应该问题不大。

[youmengtian]

@程迪 目前fluent的做法是使用point gs法或ILU(0)做smoother。目前的问题就在无矩阵，或更科学的叫jacobian-free，其本质不再是传统的Ax=b的形式，很难直接用相应的solver。

[程迪]

@youmengtian
明显Jacobian Free和matrix free不是一回事儿吧。JFNK虽然是Jacobian free，但是Krylov没有preconditioner不是很好使，加preconditioner又很难避免要存、算矩阵，至少算矩阵系数是免不了的，不过这个preconditioner反正是approximation，似乎不需要非常consistent。

而且preconditioner整的不好就是并行的性能瓶颈。

[youmengtian]

@程迪 怎么jacobian-free，在JVNK中也是以matrix-free实现的。AIAA很多论文都是如此表述的。matrix-free的LU-SGS还真心free的飞起

[程迪]

@youmengtian
Jacobian free是不算Jacobian，JFNK的方法压根就没出现Jacobian，既不存，也不算；Matrix free主要是不存系数矩阵，至于这个矩阵是不是Jacobian无所谓的，但是一般多少都有点儿关系。Matrix free不代表不算矩阵元素，preconditioner免不了要算全部或者部分矩阵元素的，但是往往算完之后可以扔掉一些，不用都存下来。SGS就是一例，按照LU-SGS的搞法，就是Matrix free的，计算过程中用到了某些系数，就算一下，用完了就扔了，下次要用再算。

[youmengtian]

@程迪 是这么说，目前的问题就是还是对于编写这类耦合隐式算法没有思路。OpenFOAM也没有相关可以借鉴的代码。不知您在这方面是否已经有相关工作开展了？可以进行进一步交流。

[程迪]

@youmengtian
没，网上有个那个Chun Shen的代码，AETK，我正在看。
https://github.com/chengdi123000/AETKv1

[李东岳]

不好意思，最近除了上班，就是在准备课程资料和写CFD界，一直没空看这个LUSGS。等我忙完了我看看

• 11楼我的测试初步感觉LUSGS一步求解稀疏矩阵求解精度不高，大约残差在0.01左右，这在SIMPLE算法里面是可以容忍的，因此本身SIMPLE就是迭代求解的过程。但是对于非迭代求解的PISO算法，瞬态问题需要每个时间步都收敛，在这种情况下，LUSGS如何能保证准确性？

这是目前我需要理解的地方，谁敢兴趣也可以交流一下。
LUSGS比较有意思，等搞明白了发个CFD界，毕竟之前都是迭代求解矩阵，LUSGS一步求解，我觉得不错。

[youmengtian]

@李东岳 感兴趣呀😄

[程迪]

@李东岳

lusgs主要算空动问题，和piso算法可能从来没有过交集吧。

而且计算代价比较低可以当预条件用。

[yhdthu]

@程迪 请问什么叫空动问题？

[李东岳]

估计是空气动力学问题。如果是密度基求解器的话，每个时间步一次性收敛是更重要的了。

[程迪]

@李东岳
我觉得时间推进是非线性问题，咋可能一步收敛。只要
1.对时间精确的求解来说，不影响所需要的求解精度；
2.对不要求时间精确的，只要不影响下一次迭代就行；

[程迪]

@yhdthu aerodynamics

[Him]

LUSGS的好处是可以使用更大的时间步长，但是显式计算的RK4也可以做到CFL~0.8。在二阶程序里使用LUSGS， CFL还是不应该大于1，因此LUSGS失去了它的优势。如果希望计算稳态，LTS也是一种相当有效率的稳态算法。如果LUSGS计算稳态收敛的速度比LTS更快，那么还是值得使用它。