关于非均一扩散系数的扩散项离散问题

[肖艺]

采用二阶精度有限体积法，扩散系数是关于空间位置的函数，面心扩散系数直接给定扩散系数的解析值，扩散项用中心差分格式，时间项用一阶欧拉隐式，计算结果是变量在全域的总积分值会逐渐减少，令扩散系数为常数时计算结果是守恒的。
这种扩散系数应该怎么离散啊。。。
大佬们指点下

[李东岳]

已经有$\alpha$解析解了还需要离散么？

守恒是什么守恒？全局的$\varphi$守恒？

[肖艺]

单元体积乘单元变量值(在全计算域所有单元求和)，这个积分值和初始场的积分值相等，既是这里指的守恒

[李东岳]

如果不考虑时间项
$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\int }_f^{f+1}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}\left(\alpha \frac{\mathrm{\partial }\varphi }{\mathrm{\partial }x}\right)\mathrm{d}x={\left(\alpha \frac{\mathrm{\partial }\varphi }{\mathrm{\partial }x}\right)}_{f+1}-{\left(\alpha \frac{\mathrm{\partial }\varphi }{\mathrm{\partial }x}\right)}_f\end{array}$$
把后面两项${\left(\alpha \frac{\mathrm{\partial }\varphi }{\mathrm{\partial }x}\right)}_{f+1}-{\left(\alpha \frac{\mathrm{\partial }\varphi }{\mathrm{\partial }x}\right)}_f$把所有的面连起来，看起来是守恒的，剩下的只有边界条件