entropy function的一个问题

[FRain]

在标注部分中提到，右边第二项在取极限时不会消失，请问哪位老师或同学能给出证明或者证明的思路吗，谢谢！
这本书是Randall J.Leveque写的Numerical Methods for Conservation laws.位于第38页
@东岳

[李东岳]

方程表示：
$${\int }_{\mathrm{\Omega }}{\eta }^{″}(u)u_x^2\mathrm{d}\mathrm{\Omega }⩾0$$
因为
$${\eta }^{″}(u)⩾0,u_x^2⩾0$$
第一个因为$\eta$为凸函数，第二个为平方项

[FRain]

@东岳
李老师您好~多谢回复。

我想请教下对于${\int }_{\mathrm{\Omega }}{\eta }^{″}(u)u_x^2\mathrm{d}\mathrm{\Omega }$

这一项为什么在当有激波，$ϵ\to 0$的时候不会消失，即不趋近于0。

应该必须是他的量级在$1/ϵ$以上时才不会消失，但我想了解下导致这一项不会消失的具体原因。

谢谢！

[李东岳]

$ϵ\to 0$ 并不是$ϵ=0$，否则不会有...if $u$ is smooth at $x_1$ and $x_2$...。在粘度趋向于很小的时候，不连续变成具备一定厚度的光滑解，同样承认有厚度的激波。所以
$$ϵ{\int }_{\mathrm{\Omega }}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }u}\left(\frac{\mathrm{\partial }\eta }{\mathrm{\partial }u}\right){\left(\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}\right)}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}t\ge 0$$
另外，
$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\int }_{x_2}^{x_1}(ϵ({\eta }_q{q}_x{)}_x\mathrm{d}x-ϵ\eta ({\eta }_q{)}_q{q}_x^2)\mathrm{d}x=ϵ({\eta }_q{q}_x{|}_{x=x_1}-{\eta }_q{q}_x{|}_{x=x_2})-ϵ\eta ({\eta }_q{)}_q{q}_x^2\mathrm{\Delta }x\end{array}$$
考虑一个非常小的$ϵ=1e-10$，在控制体内$ϵ({\eta }_q{q}_x{|}_{x=x_1}-{\eta }_q{q}_x{|}_{x=x_2})\to 0$，$ϵ\eta ({\eta }_q{)}_q{q}_x^2\mathrm{\Delta }x$还是大于0.