聚并破碎的IATE模型

[李东岳]

界面浓度传输方程

数量密度函数$n(V)$方程（单位$1/m^6$）：
\begin{equation}
\frac{\p n}{\p t}+\nabla\cdot{(n\bfU)}=S_{bre}+S_{coa}
\end{equation}
定义矩：
\begin{equation}
m_k=\int V^kn\rd V
\end{equation}
因此$m_0$表示每单位体积的粒子数量，$m_1$表示每单位体积的粒子体积，也即相分数$\alpha$。因此有体积传输方程：
\begin{equation}
\frac{\p m_1}{\p t}+\nabla\cdot{(m_1\bfU)}=\int VS_{bre}\rd V+\int VS_{coa}\rd V
\end{equation}
由于体积守恒，因此其中
\begin{equation}
\int VS_{bre}\rd V+\int VS_{coa}\rd V=0
\end{equation}
在下文中我们用$\alpha$表示一阶矩$m_1$，因此有：
\begin{equation}
\frac{\p \alpha}{\p t}+\nabla\cdot{(\alpha\bfU)}=0
\end{equation}
即相方程。定义$A(V)$为体积$V$粒子的表面积：
\begin{equation}
A=\pi d^2, V=\frac{\pi d^3}{6}
\end{equation}
有：
\begin{equation}
A(V)=6^{2/3}\pi^{1/3}V^{2/3}
\end{equation}
同时定义界面浓度$a$：
\begin{equation}
a=\int A(V)n\rd V
\end{equation}
依据矩关系：
\begin{equation}\label{AV}
A(V)=\frac{\int A(V)n\rd V}{\int n\rd V}=\frac{a}{m_0}
\end{equation}
\begin{equation}\label{V}
V=\frac{\int Vn\rd V}{\int n\rd V}=\frac{\alpha}{m_0}
\end{equation}
有：
\begin{equation}
\frac{\p a}{\p t}+\nabla\cdot{(a\bfU)}=\int A(V)S_{bre}\rd V+\int A(V)S_{coa}\rd V
\end{equation}
由于粒子界面不具有守恒性，因此
\begin{equation}
\int A(V)S_{bre}\rd V+\int A(V)S_{coa}\rd V \neq 0
\end{equation}
同时依据\eqref{AV}和\eqref{V}的关系有：
\begin{equation}
A=\frac{a}{m_0}=6^{2/3}\pi^{1/3}\frac{\alpha}{m_0}^{2/3} \rightarrow m_0=\psi\frac{a^3}{\alpha^2},A=\frac{1}{\psi}\left(\frac{\alpha}{a}\right)^2
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\psi=\frac{1}{36\pi}
\end{equation}
依据积分关系：
\begin{equation}
\begin{split}
\int A(V)S_{bre}\rd V \approx \Delta A\int S_{bre}\rd V,
\\
\int A(V)S_{coa}\rd V \approx \Delta A\int S_{coa}\rd V
\end{split}
\end{equation}
Ishii在2004年中的文章中假定
\begin{equation}
\Delta A=\frac{1}{3}A,
\end{equation}
这是因为考虑聚并和破碎的情况下，粒子界面变化分别为：
\begin{equation}
\Delta A=-0.413A, \Delta A=0.26A
\end{equation}
其中$|0.413|+|0.26|\approx 1/3$。因此，有：
\begin{equation}\label{S}
\begin{split}
\Delta A\int S_{bre}\rd V=\frac{1}{3}A\int S_{bre}\rd V
\\
\Delta A\int S_{coa}\rd V=\frac{1}{3}A\int S_{coa}\rd V
\end{split}
\end{equation}
在IATE算法中，通常将方程\eqref{S}中的积分表示为
\begin{equation}\label{R}
\int S_{bre}\rd V=R_{bre},\int S_{coa}\rd V=R_{coa}
\end{equation}
这样有：
\begin{equation}
\frac{\p a}{\p t}+\nabla\cdot{(a\bfU)}=\frac{1}{3} \frac{1}{\psi}\left(\frac{\alpha}{a}\right)^2 (R_{bre}+B_{coa})
\end{equation}

聚并破碎源项