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    聚并破碎的IATE模型

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    • 李东岳
      李东岳 管理员 last edited by 李东岳

      界面浓度传输方程

      数量密度函数$n(V)$方程(单位$1/m^6$):
      \begin{equation}
      \frac{\p n}{\p t}+\nabla\cdot{(n\bfU)}=S_{bre}+S_{coa}
      \end{equation}
      定义矩:
      \begin{equation}
      m_k=\int V^kn\rd V
      \end{equation}
      因此$m_0$表示每单位体积的粒子数量,$m_1$表示每单位体积的粒子体积,也即相分数$\alpha$。因此有体积传输方程:
      \begin{equation}
      \frac{\p m_1}{\p t}+\nabla\cdot{(m_1\bfU)}=\int VS_{bre}\rd V+\int VS_{coa}\rd V
      \end{equation}
      由于体积守恒,因此其中
      \begin{equation}
      \int VS_{bre}\rd V+\int VS_{coa}\rd V=0
      \end{equation}
      在下文中我们用$\alpha$表示一阶矩$m_1$,因此有:
      \begin{equation}
      \frac{\p \alpha}{\p t}+\nabla\cdot{(\alpha\bfU)}=0
      \end{equation}
      即相方程。定义$A(V)$为体积$V$粒子的表面积:
      \begin{equation}
      A=\pi d^2, V=\frac{\pi d^3}{6}
      \end{equation}
      有:
      \begin{equation}
      A(V)=6^{2/3}\pi^{1/3}V^{2/3}
      \end{equation}
      同时定义界面浓度$a$:
      \begin{equation}
      a=\int A(V)n\rd V
      \end{equation}
      依据矩关系:
      \begin{equation}\label{AV}
      A(V)=\frac{\int A(V)n\rd V}{\int n\rd V}=\frac{a}{m_0}
      \end{equation}
      \begin{equation}\label{V}
      V=\frac{\int Vn\rd V}{\int n\rd V}=\frac{\alpha}{m_0}
      \end{equation}
      有:
      \begin{equation}
      \frac{\p a}{\p t}+\nabla\cdot{(a\bfU)}=\int A(V)S_{bre}\rd V+\int A(V)S_{coa}\rd V
      \end{equation}
      由于粒子界面不具有守恒性,因此
      \begin{equation}
      \int A(V)S_{bre}\rd V+\int A(V)S_{coa}\rd V \neq 0
      \end{equation}
      同时依据\eqref{AV}和\eqref{V}的关系有:
      \begin{equation}
      A=\frac{a}{m_0}=6^{2/3}\pi^{1/3}\frac{\alpha}{m_0}^{2/3} \rightarrow m_0=\psi\frac{a^3}{\alpha^2},A=\frac{1}{\psi}\left(\frac{\alpha}{a}\right)^2
      \end{equation}
      其中
      \begin{equation}
      \psi=\frac{1}{36\pi}
      \end{equation}
      依据积分关系:
      \begin{equation}
      \begin{split}
      \int A(V)S_{bre}\rd V \approx \Delta A\int S_{bre}\rd V,
      \\
      \int A(V)S_{coa}\rd V \approx \Delta A\int S_{coa}\rd V
      \end{split}
      \end{equation}
      Ishii在2004年中的文章中假定
      \begin{equation}
      \Delta A=\frac{1}{3}A,
      \end{equation}
      这是因为考虑聚并和破碎的情况下,粒子界面变化分别为:
      \begin{equation}
      \Delta A=-0.413A, \Delta A=0.26A
      \end{equation}
      其中$|0.413|+|0.26|\approx 1/3$。因此,有:
      \begin{equation}\label{S}
      \begin{split}
      \Delta A\int S_{bre}\rd V=\frac{1}{3}A\int S_{bre}\rd V
      \\
      \Delta A\int S_{coa}\rd V=\frac{1}{3}A\int S_{coa}\rd V
      \end{split}
      \end{equation}
      在IATE算法中,通常将方程\eqref{S}中的积分表示为
      \begin{equation}\label{R}
      \int S_{bre}\rd V=R_{bre},\int S_{coa}\rd V=R_{coa}
      \end{equation}
      这样有:
      \begin{equation}
      \frac{\p a}{\p t}+\nabla\cdot{(a\bfU)}=\frac{1}{3} \frac{1}{\psi}\left(\frac{\alpha}{a}\right)^2 (R_{bre}+B_{coa})
      \end{equation}

      聚并破碎源项

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