OpenFOAM编程计算湍动能Budget

[学流体的小明]

想计算这样一个项：
$$
{ - \langle \bar \rho {{\tilde u'}_i}\rangle \left( {\frac{{\partial \langle {{\tilde u}_i}\rangle }}{{\partial t}} + \langle {{\tilde u}_j}\rangle \frac{{\partial \langle {{\tilde u}_i}\rangle }}{{\partial {x_j}}}} \right)}
$$
其中尖括号表示时间平均，上标撇表示脉动量。
湍流质量通量(Turbulent mass flux) = 密度乘以速度脉动。
代码应该写成哪样？主要后面的那个平均速度的梯度和平均速度的点积。
代码一

-TMFMean & ( fvc::ddt(UMean) + fvc::grad(UMean) & UMean )

代码二

-TMFMean & ( fvc::ddt(UMean) + UMean & fvc::grad(UMean)  )

个人觉得是代码一，发出来和大佬们确认一下。

[李东岳]

这个看起来是代码2。

[学流体的小明]

谢谢李老师。
我自己也找资料看了一下，发现您之前给的那个常用推导黑色卡片里面有展开写的速度梯度场，是
$$
\nabla {\bf{U}} = \frac{{\partial {U_j}}}{{\partial {x_i}}}
$$

i是横行，j是竖行。确实应该用代码2。
更详细的内容，找到一个知乎笔记：https://zhuanlan.zhihu.com/p/474966621

[李东岳]

是，这个nabla U有不同的写法：

可以看出，方程(2.41)中的速度梯度与方程(2.7)形式并不一样，二者互为转置。这是因为
在这里牵涉到一个张量概念：分子布局（numerator layout）以及分母布局（denominator
layout）。方程(2.41)中的速度梯度采用了分子布局。方程(2.7)采用的为分母布局。两种布
局导致写法不同。维基百科表示目前的教材中确实存在这一问题[8]。在本书以及开源软件
OpenFOAM 中，使用的是方程(2.7)的形式

另外，nabla U这个我之前也没细看。写了一种形式，有人说我写错了，给我发了个sci，我发现确实错了。我就改了一下。过一段时间，又有人说我错了。我又改回去了。这个sci里面定义还不一样。目前我写的跟OpenFOAM一致。

[李东岳]

https://arxiv.org/pdf/1802.04099

刘老师Rotex的第一篇文章，就是另外一种写法的$\nabla\bfU$

[学流体的小明]

感觉就是不同的研究者对这个的规定不一样，论文里面推导过程正确就行。
当然如果按照张量的知识，向量并积计算的话，我觉得应该是
$$
\nabla {\bf{U}} = \frac{{\partial {U_j}}}{{\partial {x_i}}}
$$