openfoam中cyclic周期性边界的问题
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cyclic BC是个大坑，因为OF的理论和编程经常不自洽。感觉网上从来没说清楚过。刚才我才搞明白。
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首先，face addressing的owner, neighbour和ldu addressing的lower, upper并不天然等价。face addressing描述的的网格的几何拓扑关系。而ldu addressing需要描述的的是数值拓扑关系，如果没有耦合边界，二者是等价的，但是如果有耦合边界，就有了face addressing描述不了的off-diagonal term。这就有两种处理方式：
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在OF+1706中，有两种lduAddressing，包括
fvMeshLduAddressing和fvMeshPrimitiveLduAddressing。- 实际上
fvMeshLduAddressing是将face addressing和ldu addressing等价了，内部面的owner就是lower，neighbour就是upper。这也是最最常用的类型，可以称之为普通ldu。 - 而
fvMeshPrimitiveLduAddressing（这里的Primitive的意思是not developed or derived from anything else）中的lower可以添加owner之外的相互作用关系。但是这个类位于overset目录下，可见它主要用于重叠网格的情况，可以称之为overset ldu。
- 实际上
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而coupled BC是实现在普通ldu中。依靠两个类：
coupledFvPatch和coupledFvPatchField，其中关键是他们各自继承了lduInterface和lduInterfaceField，并实现了相关函数。所以其实interface和coupled BC是几乎同样的概念。 -
从概念上讲，对于普通LDU，在有interface的情况下虽然在lduMatrix中存了upper,diag,lower矩阵系数，但是还有额外耦合项，也就是说$A=L+D+U+C\ne L+D+U$，$C$就是额外耦合项，由于数据结构设计上的限制，不能存到普通ldu的矩阵中，需要单独处理。
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处理方式也比较简单，$C$因为也是代表cell-cell相互作用，所以主要是非对角的，因为对角的部分完全可以包含在$D$中，而且源项部分也可以容纳在原来的源项里，可以分裂为上下两部分，$C=C_L+C_U$。在
lduMatrix.Amul()的操作中，计算$A\cdot x$的操作被分为$D\cdot x+(L+U)\cdot x +C_U\cdot x_n $：initMatrixInterfaces: $C_L\cdot x_o$，其中$x_o$是$x$中属于耦合边界的内侧单元，计算结果要送到另一侧去；- all cells:
ApsiPtr[cell] = diagPtr[cell]*psiPtr[cell];: $D\cdot x$ - all faces:
ApsiPtr[uPtr[face]] += lowerPtr[face]*psiPtr[lPtr[face]];: $L\cdot x$ - all faces:
ApsiPtr[lPtr[face]] += upperPtr[face]*psiPtr[uPtr[face]];: $U\cdot x$ updateMatrixInterfaces: $C_U\cdot x_n$，其中$x_n$只包含$x$中属于耦合边界的外侧单元；- 这种$C\cdot x$叫做
patch Contribution。 $C_L, C_U$叫interfaceUpper,interfaceLower。
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问：为什么$C_L,C_U$要分开处理？答：因为在存在processor边界时，$x_n$并不在本地，要通过通信获取结果，或者获取系数。
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问：$C_L$和$C_U$存在哪儿？答：
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class fvMatrix : public refCount, public lduMatrix { //... //- Boundary scalar field containing pseudo-matrix coeffs // for internal cells FieldField<Field, Type> internalCoeffs_; //注意这里不是引用，是真货 //- Boundary scalar field containing pseudo-matrix coeffs // for boundary cells FieldField<Field, Type> boundaryCoeffs_; //都初始化为0； //... }
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coupled BC, interface, constraint BC等的关系：
interface就是coupled BC，constraint BC是OF文档中的分类，其实包含了empty, wedge,symmetry等几何约束类的BC和coupled BC。coupled BC中比较重要的两类是cyclic和processor。
总的来看cyclic边界条件本身的实现应该没有问题，还挺巧妙的。
回到这个问题，我觉得可能是CFL数计算的部分可能在cyclic BC处有bug。
Courant数计算方式来看，普通Courant数和其他一样，额外多了一个Interface Courant数。里面多了个这玩意儿：scalarField sumPhi ( mixture.nearInterface()().primitiveField() *fvc::surfaceSum(mag(phi))().primitiveField() ); alphaCoNum = 0.5*gMax(sumPhi/mesh.V().field())*runTime.deltaTValue(); meanAlphaCoNum = 0.5*(gSum(sumPhi)/gSum(mesh.V().field()))*runTime.deltaTValue(); // mixture.nearInterface()()，定义是： Foam::tmp<Foam::volScalarField> Foam::interfaceProperties::nearInterface() const { return pos(alpha1_ - 0.01)*pos(0.99 - alpha1_); }可能是相边界速度太大了吧。估算一下有上万了，你的平均Courant这么小，最大Courant这么大。。。你又是这么均匀的网格。。
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自主匠心，普惠仿真。
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@dzw05
最近在研究processorFvPatch，来挖个坟补充下~~
对于并行耦合边界条件，在方程组迭代求解中的“耦合”过程在矩阵-向量乘法（Amul）中的实现如下：
1、initMatrixInterfaces：只负责初始化边界数据，将耦合边界内侧（本地）的数据传送到外侧（相邻进程）。
2、本地数据与向量相乘，参考程迪的描述。
3、updateMatrixInterfaces：使用第一步初始化得到的数据来耦合外侧变量（$C\cdot x_n $）.
并行边界条件中，对于一个本地进程来说耦合过程是单向的，只将外侧数据耦合到本地，但是对于一个耦合边界面来说耦合过程是双向的，即面两侧的进程都需要耦合外侧数据（$C=C_L+C_U$ 一侧是$C_L$另一侧是$C_U$）。
耦合边界类使用的接口是initInterfaceMatrixUpdate，updateInterfaceMatrix，这两个接口的实现在对应的子类边界条件中，如何想研究何以找找。 -
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@Micro
个人观点，线性方程组求解来说，感觉目前主要用的是克雷洛夫子空间方法+多重网格方法这两个大类，已经能在理论上比较好的解决求解方程组了(复杂度大概在O(N^2)~O(NlogN))。当然对于不同线性代数库对这些方法的实现效率有高有底（针对体系结构和并行的优化可能不同），但是感觉如果优化到位大概也就是到那个程度了，在同一套系统上不会有数量级的差距。
我之前做实验发现，对于有些多物理量耦合在一起的分块矩阵，通用的预条件器好像对降低条件数作用比较有限（主要也是由于物理上的特殊性造成的），针对某一类物理问题，似乎需要一些特殊的预条件器来有效的降低条件数，听说预条件这方面的论文也挺多的，不过比较偏数学，我不太懂。
