LES一个方程

[李东岳]

一个朋友要我退一下这个方程，就是这个$S^2$怎么来的，我先发在这里，谁能看看不？

[李东岳]

简单推了一下 没想到这个是个坑 这么复杂 文章里面一笔带过 我这个用的2维的 推了一下 后来发现 有个乘以2那个忘记乘了 中间还需要调用连续性方程 有空我在电脑上重新写一下

[李东岳]

整理一下

%(#ff0000)[问题：证明均一湍流有$S^2=\frac{1}{2}\left(\frac{\p u_i}{\p x_j}\right)^2$]

推导：

为方便讨论，考虑二维情况，
\begin{equation}
S^2=S_{ij}S_{ij}
\label{1}
\end{equation}
\begin{equation}
S_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\p u_i}{\p x_j}+\frac{\p u_j}{\p x_i}\right)
\label{2}
\end{equation}
将方程\eqref{2}代入到\eqref{1}有
\begin{equation}
S^2=S_{ij}S_{ij}=S_{11}S_{11}+S_{12}S_{12}+S_{21}S_{21}+S_{22}S_{22}
\label{3}
\end{equation}
\begin{equation}
=\left(\frac{\p u_1}{\p x_1}\right)^2+\frac{1}{4}\left(\frac{\p u_1}{\p x_2}+\frac{\p u_2}{\p x_1}\right)^2+\frac{1}{4}\left(\frac{\p u_1}{\p x_2}+\frac{\p u_2}{\p x_1}\right)^2+\left(\frac{\p u_2}{\p x_2}\right)^2
\label{4}
\end{equation}
\begin{equation}
=\left(\frac{\p u_1}{\p x_1}\right)^2+\frac{1}{2}\left(\frac{\p u_1}{\p x_2}+\frac{\p u_2}{\p x_1}\right)^2+\left(\frac{\p u_2}{\p x_2}\right)^2
\label{5}
\end{equation}
\begin{equation}
=\left(\frac{\p u_1}{\p x_1}\right)^2
+\frac{1}{2}\left( \left(\frac{\p u_1}{\p x_2}\right)^2 +2\frac{\p u_1}{\p x_2}\frac{\p u_2}{\p x_1} + \left(\frac{\p u_2}{\p x_1}\right)^2\right)
+\left(\frac{\p u_2}{\p x_2}\right)^2
\label{6}
\end{equation}
\begin{equation}
=\left(\frac{\p u_1}{\p x_1}\right)^2+\frac{1}{2}\left(\frac{\p u_1}{\p x_2}\right)^2+\frac{\p u_1}{\p x_2}\frac{\p u_2}{\p x_1}+\frac{1}{2}\left(\frac{\p u_2}{\p x_1}\right)^2
+\left(\frac{\p u_2}{\p x_2}\right)^2
\label{7}
\end{equation}

[李东岳]

这个跟湍流动能耗散率和形变率的关系有关，应该不仅仅是LES的

[李东岳]

此问题同类于湍流动能耗散率的定义。湍流动能耗散率的定义为：
\begin{equation}
\varepsilon=2\nu_t\overline{S_{ij}S_{ij}}
\end{equation}
经过各向同性假定后有：
\begin{equation}
\varepsilon=\nu_t\overline{\frac{\p u_i'}{\p x_k}\frac{\p u_i'}{\p x_k}}
\end{equation}