连续性方程推导的疑问（微元控制体）

[simthere]

注：$LATEX$语法可能加载较慢，直接将其弄成图片形式了

[hangsz]

在控制体内推导方程的时候，所有变量density 和 pressure等等都是空间和时间的函数，不会视为定值。
微元体质量里的density是单元中心的density，如果用泰勒展开只保留一阶的话（假定为线性的），它也等于单元平均值。
所以你的大前提就错了。

[simthere]

@hangsz density 和 pressure等等都是空间和时间的函数，但是如果density在微元控制体内不为定值，那么微元体的质量应该用积分表示

不知是否合理？如果以上式表示质量，继续推导的话，怎么得到书中的微元控制体的连续性方程形式

[CFD中文网]

所以你的问题就是为什么$\frac{\mathrm{\partial }\rho u}{\mathrm{\partial }t}=\rho \frac{\mathrm{\partial }u}{t}$？

[wwzhao]

x方向流入质量：$(\rho u){|}_x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z$
x方向流出质量：$(\rho u){|}_{x+\mathrm{\Delta }x}\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z$
y方向流入质量：$(\rho v){|}_y\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }z$
y方向流出质量：$(\rho v){|}_{y+\mathrm{\Delta }y}\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }z$
z方向流入质量：$(\rho w){|}_z\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y$
z方向流出质量：$(\rho w){|}_{z+\mathrm{\Delta }z}\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y$

于是，
$\frac{\mathrm{\partial }\rho }{\mathrm{\partial }t}\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z=((\rho u){|}_x-(\rho u){|}_{x+\mathrm{\Delta }x})\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z+((\rho v){|}_y-(\rho v){|}_{y+\mathrm{\Delta }y})\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }z+((\rho w){|}_z-(\rho w){|}_{z+\mathrm{\Delta }z})\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y$

两边除以 $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z$
$\frac{\mathrm{\partial }\rho }{\mathrm{\partial }t}=\frac{(\rho u){|}_x-(\rho u){|}_{x+\mathrm{\Delta }x}}{\mathrm{\Delta }x}+\frac{(\rho v){|}_y-(\rho v){|}_{y+\mathrm{\Delta }y}}{\mathrm{\Delta }y}+\frac{(\rho w){|}_z-(\rho w){|}_{z+\mathrm{\Delta }z}}{\mathrm{\Delta }z}$

所以
$\frac{\mathrm{\partial }\rho }{\mathrm{\partial }t}=-(\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}(\rho u)+\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}(\rho v)+\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }z}(\rho w))=-\mathrm{\nabla }\cdot \rho \mathbf{\text{U}}$

对控制体积分，运用高斯定理，可得连续性方程的积分形式
$\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}\int \rho dV=-\oint \rho \mathbf{\text{U}}\cdot \mathbf{\text{n}}dS$

[simthere]

@cfd-china 其实我的思路是这样的

我推导不出书中的结论

[simthere]

@wwzhao 谢谢回复！

我的推导有问题吗？

[hangsz]

你的推倒没问题，只是你没学会变化。
微元体的质量变化率应该是： 。
由于控制体形状不变，所以和
是相同的。

而这两个式子都可以化为：

关键在于你要理解这里的density是微元中心的密度，它在一阶泰勒展开（线性），也即假设density在单元内是线性变化的时候，等于平均密度，所以三重积分可以写成密度与体积相乘的形式。
偏导符号在三重积分外，比较容易推出。而偏导符号在三重积分内时，由于微分是线性算子，所以之前的密度的线性分布假设也是不受影响的。

吐槽：你们打的公式，全都是符号，可能是我浏览器有问题。

[simthere]

@hangsz :sunglasses: ,厉害。我的数学基础还是太薄弱。

注：公式全是符号？火狐浏览器容易出现这个问题，应该是渲染不行。chrome和ie浏览器好一点。

[wwzhao]

@hangsz 论坛的 MathJax 插件有缺陷，需要刷新页面一次才能显示出来。

[wwzhao]

@simthere 你的问题其实可以简化为：为什么 $\int \rho dV={\rho }_P\int dV$。（其中 ${\rho }_P$ 为格心处的流体密度）

下面给出简略证明：

我们假设P为单元格心，${\mathbf{\text{x}}}_P$ 为P点坐标，那么有如下定义
$\int (\mathbf{\text{x}}-{\mathbf{\text{x}}}_P)dV=0$

于是密度对控制单元的积分为：
$\int \rho dV=\int [{\rho }_P+(\mathbf{\text{x}}-{\mathbf{\text{x}}}_P)\cdot (\mathrm{\nabla }{\rho }_P)]dV={\rho }_P\int dV+(\mathrm{\nabla }{\rho }_P)\cdot \int (\mathbf{\text{x}}-{\mathbf{\text{x}}}_P)dV={\rho }_P\int dV$

同理可以推广到压力、速度等物理量。

[simthere]

@wwzhao :thanks!