拉格朗日中的湍流分散力模型

李东岳

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算法背景

湍流分散力：Turbulent dispersion force

湍流的作用会导致粒子产生分散作用。但对于不同的研究体系，湍流分散力的作用并不相同。如果考虑湍流分散力的作用，拉格朗日模型和欧拉模型中的处理方式并不一致。

拉格朗日模型中的Turbulent Dispersion一般都用的是随机行走模型，如Stochastic tracking model
欧拉欧拉模型中的Turbulent Dispersion一般用力/每单位体积来描述，具体的细分为某些模型如lopezDeBertodano model或者Burns model

这种湍流分散力的处理方式不一致主要取决于介尺度模型中的粒子直接跟踪算法和宏观模型中N-S方程中的动量方程并不完全统一。在粒子跟踪中，湍流分散力通过对连续相速度附加一个随机扰动实现湍流分散，然后更新拉格朗日ODE更新粒子速度：

\begin{equation}\label{dpm}
\frac{\rd \bfU_\rd}{\rd t}=-\frac{\bfU_\rd-\left(\overline{ \mathbf{U}
_ \rc}+\mathbf{U}'\right)}{\tau_\rd}
\end{equation}

在欧拉模型中，湍流分散则需要在动量方程中添加一个力源项$\mathbf{M}$来实现。通过力作用于速度实现粒子的湍流分散。

\begin{equation}\label{EE}
\frac{{\p \left( {{\alpha_\rd}{\rho_\rd}{\bfU_\rd}} \right)}}{{\p t}} + \nabla \cdot \left( {{\alpha_\rd}{\rho_\rd}\left( {{\bfU_\rd} \otimes {\bfU_\rd}} \right)} \right) - \nabla \cdot \left( {{\alpha_\rd}{\rho_\rd}{\bfR_\rd}} \right)
= ... - {\bfM_\mathrm{turb.Disp.Force}}.
\end{equation}

Open Question

可见欧拉欧拉模型下的湍流分散力完全完全不同于拉格朗日下的随机行走模型。一个是通过力控制速度，如方程\eqref{EE}，一个是直接在连续相速度上添加脉动，如方程\eqref{dpm}。

一些较新的算法，需要在拉格朗日框架下，融合宏观模型的湍流分散处理方法。更直白一下，能否将欧拉模型的湍流分散力直接用于拉格朗日粒子跟踪？进而抛弃传统的随机行走模型？ 也就是说在拉格朗日速度ODE方程右边直接添加一个力源项来处理？

\begin{equation}
\frac{\rd \mathbf{U}}{\rd t}=\mathrm{...}+\mathrm{turb.Disp.Forces?}
\end{equation}

yangniannian

Uc是粒子位置的气体速度

yangniannian

随机扰动实际上是附加给粒子位置的气体速度的

李东岳

精辟！更新了一下，更加准确一些。

嵇何劫康

湍流分散力在泥沙的悬浮运动中非常重要。欧拉方程中湍流分散力有两种表示形式：1.如上文所言,在拖曳力里面加一分散项；2.在连续方程中考虑脉动速度，
如文献【(2011). A general two-phase turbulent flow model applied to the study of sediment transport in open channels. International Journal of Multiphase Flow, 37(9), 1099-1108.】中方程2的写法。
相关推导过程在文献【 Jha, S. K. , & Fabián A. Bombardelli. (2010). Toward two-phase flow modeling of nondilute sediment transport in open channels. Journal of Geophysical Research Earth Surface, 115(F3), -.】里面的附录里也有。

李东岳

我看了下，之前遇到过类似的方法。直接添加了一个扩散相。但我遇到的是在动量方程中，Chen et al. 2011这篇文章中添加在了连续性方程中（方程2）。我在现在写的这篇文章中引用一下你说的这俩篇文章

你试过在OpenFOAM中植入么？应该挺有意思

嵇何劫康

恩，我这边用的是MFIX，还没有植入。openfoam也有人植入过的，【A general numerical model for surface waves generated by granular material
intruding into a water body

https://doi.org/10.1016/j.coastaleng.2018.09.001

里面的公式27

.J.

@嵇何劫康你好，我看了下你说的几篇文献，应该都是用的DEM方法研究的吧，你们这个领域液固曳力是已经非常准确了吗？研究脉动对颗粒运动影响的过程中是否需要排除曳力不准确的情况，去分离考虑呢？例如用浸润边界法(IBM)，会不会更好一些？如想法不成熟，望见谅！

李东岳

另一种湍流分散力模型：Monahan, S. M., & Fox, R. O. (2007). Linear stability analysis of a two-fluid model for air–water bubble columns. Chemical engineering science, 62(12), 3159-3177.
添加一个基于相分数以及速度模乘积的梯度项

李东岳

拉格朗日下的方式（方程\eqref{dpm}）处理不够给力，效果太小了，这种随机行走的分散效果太小了。但是欧拉框架下的湍流分散里需要相分数的梯度，这在拉格朗日框架下是没有的变量。不知道目前这方面都是怎么处理的

李东岳

@嵇何劫康在拉格朗日中的湍流分散力模型中说：

湍流分散力在泥沙的悬浮运动中非常重要。欧拉方程中湍流分散力有两种表示形式：

最近看了好多泥沙两相流，确实那面扩散都在相分数方程里面直接添加扩散相。

李东岳

@嵇何劫康目前欧拉框架下这面的湍流分散力一般都是这个样子：
$$
\nabla\cdot(D\nabla\alpha),D=\nu_t/\sigma
$$
其中$\nu_t$是湍流粘度。在RANS下还可以，但是在LES下$\nu_t$特别低，导致效果特别小。目前你见过LES下面这面一般怎么处理的么。

Voynich

@嵇何劫康您好，Chen et al. 2011这篇文献里的湍流分散力模型是基于RANS的Hinze-Tchen模型，请问在LES中有类似的模型吗？