Smagorinsky模型系数问题

coolhhh

@李东岳李老师，这两个链接在讨论of中的Smagorinsky模型时，也类似讨论of中为何植入的是$\sqrt{ \mathbf{D} :\mathbf{D} } $，相比理论公式看似缺少$\sqrt{ 2} $系数。但其实是一致的，这是因为of中把$\sqrt{ 2} $加到了前面的系数中。下面截图中的理论公式符号代表：$\left | \bar{S} \right | = \sqrt{2 \mathbf{D} :\mathbf{D} } $，但OF公式代表：$\left | \bar{S}_{of} \right | = \sqrt{ \mathbf{D} :\mathbf{D} } $，在CFD-online上的帖子因为把符号写成一样导致了混淆。
Smagorinsky model details -- CFD Online Discussion Forums
[转载]有关OpenFoam中LES smagorinsky模型的推导_馨予_新浪博客

湍流模型我不太懂，在想dynSmagorinsky是否类似于CFD-online的讨论，是否也是把系数$\sqrt{ 2} $加到了前面的系数中？也就是cD(D)可能比dynSmagorinsky理论公式多了$\sqrt{ 2} $系数？

void dynSmagorinsky::updateSubGridScaleFields(const volSymmTensorField& D)
{
    nuSgs_ = cD(D)*sqr(delta())*sqrt(magSqr(D));
    nuSgs_.correctBoundaryConditions();
}

李东岳

替代文字

是不是这个公式里面，也应该有一个$\sqrt{2}$？然后就可以了？

coolhhh

@李东岳这个公式结论是对的，不用加$\sqrt{2}$。CFD-online讨论帖子初始问题混淆点是把OF计算的$\sqrt{ \mathbf{D} :\mathbf{D} } $当做$\left | \bar{S} \right | $，而理论公式的$\left | \bar{S} \right | $表示的是$\sqrt{2 \mathbf{D} :\mathbf{D} } $。OF是单独计算了$\sqrt{ \mathbf{D} :\mathbf{D} } $，为与理论对应，$\sqrt{2}$在前面的系数里计算再相乘。

Smagorinsky SGS model in OpenFOAM | CFD WITH A MISSION这个帖子推导就没有混淆符号，统一用$\sqrt{2 \mathbf{D} :\mathbf{D} } $表示$\left | \bar{S} \right | $

李东岳

你的意思就是，OpenFOAM里面植入的应该是$\nu_{sgs} = (C_s^{of})^2 \Delta^2 \sqrt{ \mathbf{D} :\mathbf{D} } $，其中$(C_s^{of})^2=C_s^2\sqrt{2}$

而不是$\nu_{sgs} = C_s^2 \Delta^2 \sqrt{ \mathbf{D} :\mathbf{D} } $

是这样么

coolhhh

对，因为湍流模型不太懂，我猜测dynSmagorinsky差个$\sqrt 2$可能是这个原因。Smagorinsky模型不是直接植入这个公式，是通过把系数代入$\nu_{sgs}=C_k\Delta \sqrt{k_{sgs}}$后得到等价的$\nu_{sgs}=C_k \sqrt{\frac{2C_k}{C_e} } \Delta ^2 \sqrt{\mathbf{D} :\mathbf{D} }
=C_k \sqrt{\frac{C_k}{C_e} } \Delta ^2 \sqrt{2\mathbf{D} :\mathbf{D} }=\left ( C_s \Delta\right )^2 \sqrt{2\mathbf{D} :\mathbf{D} } $

李东岳

那我知道了，我感觉那个应该是个bug。毕竟这个代码已经过时了。我跟作者确认一下。

李东岳

LES那面为啥所有文章非要定义$|\bfS|=\sqrt{2\bfS:\bfS}$呢，正常张量这玩意就应该是$|\bfS|=\sqrt{\bfS:\bfS}$。不知道最开始那个大佬咋想的。

被这玩意彻底搞蒙了

dxl

是不是这个

李东岳

@dxl 没太看明白老铁

李东岳

@李东岳在 Smagorinsky模型系数问题中说：

你的意思就是，OpenFOAM里面植入的应该是$\nu_{sgs} = (C_s^{of})^2 \Delta^2 \sqrt{ \mathbf{D} :\mathbf{D} } $，其中$(C_s^{of})^2=C_s^2\sqrt{2}$

而不是$\nu_{sgs} = C_s^2 \Delta^2 \sqrt{ \mathbf{D} :\mathbf{D} } $

是这样么

https://bugs.openfoam.org/view.php?id=816

这个确实是个bug，不过OpenFOAM新版已经把动态Smagorinsky删掉了，所以无关紧要了。

李东岳

我按照$\nu_t=(C_s\Delta)^2\sqrt{2\bfS:\bfS}$的方式植入进入了。从云图来看没啥区别。希望有大佬来详细验证一下是否均衡。下面这个文件，可以在OpenFOAM-10下进行编译，步骤：

wmake
cd pitzDaily
./Allrun

Smagorinsky.tar.xz

注意算例中的$C_k$的值忘记改了，应该改为0.065

个人疑问是植入：$ \nu _{sgs} =\left ( C_s \Delta\right )^2 \sqrt{2\mathbf{D} :\mathbf{D} }$ 那么式 (1d) 中的k是怎么计算的？这会不会就是两个方法的主要差别？

@coolhhh 应该是从$\nu_t$反推出来的，$k=\nu_t^2/(C_k\Delta)^2$

coolhhh

@李东岳李老师，这个反推公式$k=\nu_t^2/(C_k\Delta)^2$是如何得到的，有更具体的推导吗？

李东岳

我刚才更新了下笔记，你看下4.2.5 RANS-LES 混合模型、DES 模型

还有这个：10.1007/s10494-005-6916-y

cfdem小白

@李东岳李老师你好，这边Smagorinsky模型中Ce=1.048，Ck=0.065系数是比较好的吗

李东岳

这二者都可以得到cs=0.065，Ce=1.048，Ck=0.065是标准系数。然后$k_{sgs}$也跟这两个系数的比有关。不过取别的值也能达到这个效果。 @coolhhh 在这方面应该有更深的见解。

coolhhh

@cfdem小白可以看3#的帖子，这是《Moin, P. and J. Kim, Numerical investigation of turbulent channel flow. Journal of fluid mechanics, 1982. 118: p. 341-377.》建议取Cs=0.065，然后根据of2206中planeChannel算例的设置，LES采用Smagorinsky，提到设置Ce=1.048，Ck=0.0265463553，能够Updated to give Cs = 0.065。我也用这个系数计算过Channel Flow，结果跟实验吻合还比较好

cfdem小白

@coolhhh 这边李老师提到了Ce=1.048，Ck=0.065是标准系数，代入上述的Cs公式算出来Cs在0.127左右。

coolhhh

@李东岳

李老师，重新看了这篇文章《Sullivan, P.P., J.C. McWilliams and C. Moeng, A subgrid-scale model for large-eddy simulation of planetary boundary-layer flows. Boundary-Layer Meteorology, 1994. 71: p. 247-276.》，文中对这两种植入方法有个阐述：

（1）第一种方法：
$$\nu_{sgs}=(C_s\Delta)^2\sqrt{2\bfS:\bfS} \tag{1}$$
from an assumed local equilibrium balance between shear production and dissipation in the SGS turbulent kinetic energy (TKE) equation。

（2）第二种方法：
$$\nu_{sgs}=C_k\Delta\sqrt{k_{sgs}} \tag{2}$$
solve the TKE equation explicitly. Advantages of such models are that no equilibrium assumption is required, and the prognostic equation provides a direct means of calculating the SGS kinetic energy which is needed to construct the actual pressure.
①看文章意思像是直接对文献中的方程(8)求解，当假设$P=D$的时候，就能与第一种方法得到等价的$C_s$:
$$C_s=\left ( C_k \sqrt{\frac{C_k}{C_e} } \right ) ^{1/2} \tag{3}$$
但根据Smagorinsky SGS model in OpenFOAM | CFD WITH A MISSION 的推导，of中求解的方程是通过Local equilibrium得到的，即假设了$P=D$，才得到了$k_{sgs}$的求解方程，与文献中的直接求解TKE方程不需要平衡假设的说法不太一样。
②并且根据论文阐述，Moeng(1984)文章中提到$k_{sgs}$的值是用于计算压力

在23#提到第一种方法的$k_{sgs}$是反推出来的，根据式(2)可反推得到$k_{sgs}=\nu_{sgs}^2/(C_k\Delta)^2$。疑问是这里的$C_k$，对于第一种方法是否取值就是$C_s$？
如果$C_k$与$C_s$是不同的取值，那么对对第一种方法仍然还是有未知数$C_k$，无法求$k_{sgs}$；如果$C_k=C_s$，产生的疑问见第3个问题。

第一种方法如果$C_k=C_s$，根据式(3)，可知：
（1）第一种方法：取$C_s=0.065$，$\nu_{sgs1}$由式（1）计算，那么$k_{sgs1}=\nu_{sgs1}^2/(C_s\Delta)^2$
（2）第二种方法：$C_e=1.048，C_k=0.0265463553$，可得到等价的$C_s=0.065$，此时得到的$\nu_{sgs2}=\nu_{sgs1}$。那么根据式（2）得到$k_{sgs2}=\nu_{sgs2}^2/(C_k\Delta)^2$
（3）若要使得两种方法计算的$k_{sgs1}=k_{sgs2}$，由于$\nu_{sgs2}=\nu_{sgs1}$，因此要求
$$C_s=C_k \tag{4}$$
再联立式（3），可解得两个方法完全等价时需要满足条件：$C_s=C_k, C_e=1/C_k$。

Moeng(1984)文章中提到$k_{sgs}$的值是用于计算压力。比较两个方法的不同，构造不同系数组合$C_k, C_e$, 使得两种方法有相同的$C_s=0.065$，但计算的$k_{sgs}$差异较大的工况，对比压力是否可能能对比出结果差异？

coolhhh

@cfdem小白应该是笔误，of的默认系数见这个链接

coolhhh

@coolhhh 更正下符号，当满足Local equilibrium时，$P=\epsilon$

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Smagorinsky模型系数问题