Smagorinsky模型系数问题

coolhhh

@李东岳李老师，看of2206中planeChannel算例的设置，LES采用Smagorinsky，提到设置Ce=1.048，Ck=0.0265463553，能够Updated to give Cs = 0.065。这里的Cs不太清楚对应哪个参数，但看官网上的符号说明，应该就是对应代码符号应该为Cdelta_。查看vanDriestDelta.C，Cdelta_为读取的参数，但of的算例数值为Cdelta=0.158。
问题：
（1）Cs与参数Ce和Ck的关系式是什么？
（2）Cdelta为读取的参数，如果要更新为0.065，那么是否要手动修改为Cdelta 0.065;而不是自动更新的？

of2206算例设置：/OpenFOAM-v2206/tutorials/incompressible/pimpleFoam/LES/planeChannel

LES
{
    LESModel        Smagorinsky;
    SmagorinskyCoeffs
    {
        Ce              1.048;
        Ck              0.0265463553; // Updated to give Cs = 0.065
    }

    delta           vanDriest;
    vanDriestCoeffs
    {
        delta           cubeRootVol;
        cubeRootVolCoeffs
        {
            deltaCoeff      1;
        }
        Aplus           26;
        Cdelta          0.158;
    }

    printCoeffs     on;
    turbulence      on;
}

OpenFOAM: User Guide: Van Driest

vanDriestDelta.C

    Cdelta_
    (
        dict.optionalSubDict(type() + "Coeffs").getOrDefault<scalar>
        (
            "Cdelta",
            0.158
        )
    )

李东岳

我没太关注esi那面的版本，我看了下openfoam10，好像区别还挺大：

捕获.JPG

Description
    The Smagorinsky SGS model.

    Reference:
    \verbatim
        Smagorinsky, J. (1963).
        General circulation experiments with the primitive equations: I.
        The basic experiment*.
        Monthly weather review, 91(3), 99-164.
    \endverbatim

    The form of the Smagorinsky model implemented is obtained from the
    k-equation model assuming local equilibrium which provides estimates of both
    k and epsilon separate from the sub-grid scale viscosity:

    \verbatim
        B = 2/3*k*I - 2*nuSgs*dev(D)

    where

        D = symm(grad(U));
        k from D:B + Ce*k^3/2/delta = 0
        nuSgs = Ck*sqrt(k)*delta
    \endverbatim

    The default model coefficients are
    \verbatim
        SmagorinskyCoeffs
        {
            Ck                  0.094;
            Ce                  1.048;
        }
    \endverbatim

coolhhh

@李东岳李老师，ESI版本和org版本的Smagorinsky和vanDriest基本是一样的。看了一些帖子，我把问题再总结一下：

根据《Moin, P. and J. Kim, Numerical investigation of turbulent channel flow. Journal of fluid mechanics, 1982. 118: p. 341-377.》，建议取Cs=0.065，而of中默认参数得到的不是这个值，需要调整Ck和Ce。
Ck,Ce与Cs的理论关系，可见《Sullivan, P.P., J.C. McWilliams and C. Moeng, A subgrid-scale model for large-eddy simulation of planetary boundary-layer flows. Boundary-Layer Meteorology, 1994. 71: p. 247-276.》。
根据下面两个帖子结论（帖子中是老版本的of代码），of中Ck,Ce与Cs的关系与上面截图的理论公式一致。那么将of2206中的planeChannel算例设置用的Ce=1.048，Ck=0.0265463553代入，可得到Cs=0.065。

Smagorinsky model details -- CFD Online Discussion Forums ，
[转载]有关OpenFoam中LES smagorinsky模型的推导_馨予_新浪博客

根据projectReport.pdf ，of中植入vanDriest是将指数函数乘以过滤宽度实现，下面截图的公式感觉有点错误，应该改为：$\Delta = min \left [ \Delta_{mesh},(\frac{\kappa }{C_\Delta})(1-e^{-y^+/A^+})y \right ] $，这就与代码和官网上的写法一致。
问题：of的这种引入系数$\kappa, C_\Delta$的植入方式，目前还没找到相关出处，不知道为何要这么取值？同时官网上把$C_\Delta$写成符号$C_s$，所以在想$C_\Delta$是否与$C_s$是相同取值的？也就是说，设置用的Ce=1.048，Ck=0.0265463553，可得到Cs=0.065，那么$C_\Delta$是否要设置为0.065？

李东岳

https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzA4OTYxNzE4NQ==&mid=2649423373&idx=1&sn=5256db61b40f99c94f1385394f249195&chksm=88067843bf71f155cd69bd332b4c844337de3bb1ffa73adff9299e18e83e43bbe9695e5ba581&token=169745134&lang=zh_CN#rd

我知道你什么意思了，老铁总结的太全面了，可以学习一阵子。
针对你的问题，应该就是我公众号发的那个。我也不清楚为什么OpenFOAM这么植入。有人说这样植入湍流产生与耗散会均衡。

coolhhh

感谢李老师分享，由于直接打开链接看不到评论区大佬的评论，我复制下大佬的观点：
1.

Straka Liu大佬推荐了一个非常有用的网站：Smagorinsky SGS model in OpenFOAM | CFD WITH A MISSION ，根据网站的推导，这两种方法是等效的，得到的$C_s$与Sullivan的论文公式是一致的：

另外，Smagorinsky的开山之作《J. Smagorinsky, General circulation experiments with the primitive equations: I. The basic experiment*. Monthly weather review, 91(3), 99-164, 1963.》,大家现在能下载得到吗，我打开下载网站现在是AMS Journals is unavailable

李东岳

https://www.jianguoyun.com/p/DavTpDMQ9s3ZBhj5saAFIAA

那是说明两种方法植入都可以？那我感觉原始方法更好植入呢: $\nu_t=f(C_k,\Delta,\mathbf{D})$。一个公式就出来了。

coolhhh

李老师，看评论区并根据Sullivan论文，第一种方法应修改为：$\nu _t =\left ( C_s \Delta\right )^2 \sqrt{2\mathbf{D} :\mathbf{D} } $。评论区大佬说的是of中默认值Ck=0.094, Ce=1.048，可以计算得到默认值Cs=0.167，这个数值是根据各向同性湍流的得到的。

最简单的LES到底怎么算

我对湍流模型不太懂，但想到一个猜测观点：
(1) 如果用第一种方法指定$C_s$，根据$C_s=\left ( C_k \sqrt{\frac{C_k}{C_e} } \right ) ^{1/2}$，理论上反推的$C_k$和$C_e$就无法唯一确定，也就是说，一个$C_s$值是可以对应很多对$C_k$和$C_e$，比如采用Cs=0.065，那么可以取Ck=0.026546355, Ce=1.048或者Ck=0.04, Ce=3.585308638等很多组合。但可能第一种方法推导采用了ksgs的生成与耗散平衡假设，因此实际反算的$C_k$和$C_e$是与这种假设唯一相对应的。
(2) 如果用第二种方法，通过指定Ck=0.026546355, Ce=1.048，就可以唯一确定Cs=0.065。也就是说，可以动态指定$C_k$和$C_e$的取值对计算结果的作用程度，并且自然满足所预期的$C_s$。
结合下面这位大佬的评论，猜测第一种方法就默认ksgs的生成与耗散平衡，而第二种方法可以动态指定$C_k$和$C_e$，来反映ksgs的生成与耗散的非平衡关系？也就是第二种方法比第一种方法适用范围更广，当$C_k$和$C_e$能够取平衡状态的值，那么两种方法就是等价的？

最简单的LES到底怎么算

coolhhh

1. 采用第二种方法：

（1）根据Smagorinsky SGS model in OpenFOAM | CFD WITH A MISSION的推导，基于式(5)的Local equilibrium假设，对于 incompressible flows，才能得到式(8)关系，进而得到式(10)和(11)。然后将式(11)与文献中的公式(12)对比，得到式(13)关于$C_e, C_k, C_s$三个系数的关系式。

（2）现在分析式(10)和(11)。

首先这两个公式是基于Local equilibrium假设得到的，将式(10)和(11)代入式(5)，得到的结果自然满足Local equilibrium假设。
接着看式(11)，我们可以通过设置合适的$C_e$和$C_k$，来实现等价的$C_s$。但是，式(10)中$k_{sgs}$的值与$C_k/C_e$这个比值相关联的。换句话说，计算设置满足了等价的$C_s=0.065$，但$C_k, C_e$可以有多种不同组合，这将导致$k_{sgs}$计算结果可能差别很大。根据式(13)，可以得到：$C_k = \left ( C_eC_s^4 \right ) ^{1/3}$，以固定取$C_s=0.065$为例，画图如下。可以看出$C_e$取值越小，$C_k/C_e$比值变化越剧烈。表明了虽然结果都是满足Local equilibrium假设以及实现了$C_s=0.065$，$C_e$和$C_k$仍然要取合适的组合，才能得到合理的$k_{sgs}$

2. 采用第一种方法：

个人疑问是植入：$ \nu _{sgs} =\left ( C_s \Delta\right )^2 \sqrt{2\mathbf{D} :\mathbf{D} } $ ，

那么式 (1d) 中的$k_{sgs}$是怎么计算的？这会不会就是两个方法的主要差别？

李东岳

k_sgs是怎么计算的？这会不会就是两个方法的主要差别？

如果采用$\nu_{sgs} =\left ( C_s \Delta\right )^2 \sqrt{2\mathbf{D} :\mathbf{D} } $ 计算，从湍流模型封闭角度来看，就不需要$k_{sgs}$了。这样没问题。不过确实，用第一种方法$k_{sgs}$怎么算？

另外我觉得你说得对，第二种方法，显示的定义了均衡，第一种方法可能会导致不均衡。

不过公众号留言那位大佬，woaring wings，说第一种用的比较广泛，是不是说错了？

coolhhh

还有of的这种植入方式，只有对于incompressible flows，b系数为0，c系数化简，才能得到$ \nu_{sgs} = C_k \sqrt{\frac{C_k}{C_e} } \Delta^2 \left | \overline{D} \right | $和$C_s=\left ( C_k \sqrt{\frac{C_k}{C_e} } \right ) ^{1/2}$。of采用这种方式可能还考虑了适用于compressible flows情况？

李东岳

@coolhhh thats a good questions.

不过目前我就没见过详细讨论OpenFOAM植入smagorinsky的方法，更别提可压缩适配了。大佬可以搜搜sci，你这整的挺细啊，这些讨论可以做sci的appendix了

李东岳

https://github.com/Unofficial-Extend-Project-Mirror/openfoam-extend-foam-extend-3.1/blob/master/src/turbulenceModels/incompressible/LES/dynSmagorinsky/dynSmagorinsky.C

我最近看到一个老版本的动态模型植入。植入的不是$\nu_{sgs} =\left ( C_s \Delta\right )^2 \sqrt{2\mathbf{D} :\mathbf{D} } $，而是$\nu_{sgs} =\left ( C_s \Delta\right )^2 \sqrt{ \mathbf{D} :\mathbf{D} } $，大佬怎么看

coolhhh

@李东岳李老师，这两个链接在讨论of中的Smagorinsky模型时，也类似讨论of中为何植入的是$\sqrt{ \mathbf{D} :\mathbf{D} } $，相比理论公式看似缺少$\sqrt{ 2} $系数。但其实是一致的，这是因为of中把$\sqrt{ 2} $加到了前面的系数中。下面截图中的理论公式符号代表：$\left | \bar{S} \right | = \sqrt{2 \mathbf{D} :\mathbf{D} } $，但OF公式代表：$\left | \bar{S}_{of} \right | = \sqrt{ \mathbf{D} :\mathbf{D} } $，在CFD-online上的帖子因为把符号写成一样导致了混淆。
Smagorinsky model details -- CFD Online Discussion Forums
[转载]有关OpenFoam中LES smagorinsky模型的推导_馨予_新浪博客

湍流模型我不太懂，在想dynSmagorinsky是否类似于CFD-online的讨论，是否也是把系数$\sqrt{ 2} $加到了前面的系数中？也就是cD(D)可能比dynSmagorinsky理论公式多了$\sqrt{ 2} $系数？

void dynSmagorinsky::updateSubGridScaleFields(const volSymmTensorField& D)
{
    nuSgs_ = cD(D)*sqr(delta())*sqrt(magSqr(D));
    nuSgs_.correctBoundaryConditions();
}

李东岳

替代文字

是不是这个公式里面，也应该有一个$\sqrt{2}$？然后就可以了？

coolhhh

@李东岳这个公式结论是对的，不用加$\sqrt{2}$。CFD-online讨论帖子初始问题混淆点是把OF计算的$\sqrt{ \mathbf{D} :\mathbf{D} } $当做$\left | \bar{S} \right | $，而理论公式的$\left | \bar{S} \right | $表示的是$\sqrt{2 \mathbf{D} :\mathbf{D} } $。OF是单独计算了$\sqrt{ \mathbf{D} :\mathbf{D} } $，为与理论对应，$\sqrt{2}$在前面的系数里计算再相乘。

Smagorinsky SGS model in OpenFOAM | CFD WITH A MISSION这个帖子推导就没有混淆符号，统一用$\sqrt{2 \mathbf{D} :\mathbf{D} } $表示$\left | \bar{S} \right | $

李东岳

你的意思就是，OpenFOAM里面植入的应该是$\nu_{sgs} = (C_s^{of})^2 \Delta^2 \sqrt{ \mathbf{D} :\mathbf{D} } $，其中$(C_s^{of})^2=C_s^2\sqrt{2}$

而不是$\nu_{sgs} = C_s^2 \Delta^2 \sqrt{ \mathbf{D} :\mathbf{D} } $

是这样么

coolhhh

对，因为湍流模型不太懂，我猜测dynSmagorinsky差个$\sqrt 2$可能是这个原因。Smagorinsky模型不是直接植入这个公式，是通过把系数代入$\nu_{sgs}=C_k\Delta \sqrt{k_{sgs}}$后得到等价的$\nu_{sgs}=C_k \sqrt{\frac{2C_k}{C_e} } \Delta ^2 \sqrt{\mathbf{D} :\mathbf{D} }
=C_k \sqrt{\frac{C_k}{C_e} } \Delta ^2 \sqrt{2\mathbf{D} :\mathbf{D} }=\left ( C_s \Delta\right )^2 \sqrt{2\mathbf{D} :\mathbf{D} } $

李东岳

那我知道了，我感觉那个应该是个bug。毕竟这个代码已经过时了。我跟作者确认一下。

李东岳

LES那面为啥所有文章非要定义$|\bfS|=\sqrt{2\bfS:\bfS}$呢，正常张量这玩意就应该是$|\bfS|=\sqrt{\bfS:\bfS}$。不知道最开始那个大佬咋想的。

被这玩意彻底搞蒙了

dxl

是不是这个

李东岳

@dxl 没太看明白老铁

李东岳

@李东岳在 Smagorinsky模型系数问题中说：

你的意思就是，OpenFOAM里面植入的应该是$\nu_{sgs} = (C_s^{of})^2 \Delta^2 \sqrt{ \mathbf{D} :\mathbf{D} } $，其中$(C_s^{of})^2=C_s^2\sqrt{2}$

而不是$\nu_{sgs} = C_s^2 \Delta^2 \sqrt{ \mathbf{D} :\mathbf{D} } $

是这样么

https://bugs.openfoam.org/view.php?id=816

这个确实是个bug，不过OpenFOAM新版已经把动态Smagorinsky删掉了，所以无关紧要了。

李东岳

我按照$\nu_t=(C_s\Delta)^2\sqrt{2\bfS:\bfS}$的方式植入进入了。从云图来看没啥区别。希望有大佬来详细验证一下是否均衡。下面这个文件，可以在OpenFOAM-10下进行编译，步骤：

wmake
cd pitzDaily
./Allrun

Smagorinsky.tar.xz

注意算例中的$C_k$的值忘记改了，应该改为0.065

个人疑问是植入：$ \nu _{sgs} =\left ( C_s \Delta\right )^2 \sqrt{2\mathbf{D} :\mathbf{D} }$ 那么式 (1d) 中的k是怎么计算的？这会不会就是两个方法的主要差别？

@coolhhh 应该是从$\nu_t$反推出来的，$k=\nu_t^2/(C_k\Delta)^2$

coolhhh

@李东岳李老师，这个反推公式$k=\nu_t^2/(C_k\Delta)^2$是如何得到的，有更具体的推导吗？

李东岳

我刚才更新了下笔记，你看下4.2.5 RANS-LES 混合模型、DES 模型

还有这个：10.1007/s10494-005-6916-y

cfdem小白

@李东岳李老师你好，这边Smagorinsky模型中Ce=1.048，Ck=0.065系数是比较好的吗

李东岳

这二者都可以得到cs=0.065，Ce=1.048，Ck=0.065是标准系数。然后$k_{sgs}$也跟这两个系数的比有关。不过取别的值也能达到这个效果。 @coolhhh 在这方面应该有更深的见解。

coolhhh

@cfdem小白可以看3#的帖子，这是《Moin, P. and J. Kim, Numerical investigation of turbulent channel flow. Journal of fluid mechanics, 1982. 118: p. 341-377.》建议取Cs=0.065，然后根据of2206中planeChannel算例的设置，LES采用Smagorinsky，提到设置Ce=1.048，Ck=0.0265463553，能够Updated to give Cs = 0.065。我也用这个系数计算过Channel Flow，结果跟实验吻合还比较好

cfdem小白

@coolhhh 这边李老师提到了Ce=1.048，Ck=0.065是标准系数，代入上述的Cs公式算出来Cs在0.127左右。

coolhhh

@李东岳

李老师，重新看了这篇文章《Sullivan, P.P., J.C. McWilliams and C. Moeng, A subgrid-scale model for large-eddy simulation of planetary boundary-layer flows. Boundary-Layer Meteorology, 1994. 71: p. 247-276.》，文中对这两种植入方法有个阐述：

（1）第一种方法：
$$\nu_{sgs}=(C_s\Delta)^2\sqrt{2\bfS:\bfS} \tag{1}$$
from an assumed local equilibrium balance between shear production and dissipation in the SGS turbulent kinetic energy (TKE) equation。

（2）第二种方法：
$$\nu_{sgs}=C_k\Delta\sqrt{k_{sgs}} \tag{2}$$
solve the TKE equation explicitly. Advantages of such models are that no equilibrium assumption is required, and the prognostic equation provides a direct means of calculating the SGS kinetic energy which is needed to construct the actual pressure.
①看文章意思像是直接对文献中的方程(8)求解，当假设$P=D$的时候，就能与第一种方法得到等价的$C_s$:
$$C_s=\left ( C_k \sqrt{\frac{C_k}{C_e} } \right ) ^{1/2} \tag{3}$$
但根据Smagorinsky SGS model in OpenFOAM | CFD WITH A MISSION 的推导，of中求解的方程是通过Local equilibrium得到的，即假设了$P=D$，才得到了$k_{sgs}$的求解方程，与文献中的直接求解TKE方程不需要平衡假设的说法不太一样。
②并且根据论文阐述，Moeng(1984)文章中提到$k_{sgs}$的值是用于计算压力

在23#提到第一种方法的$k_{sgs}$是反推出来的，根据式(2)可反推得到$k_{sgs}=\nu_{sgs}^2/(C_k\Delta)^2$。疑问是这里的$C_k$，对于第一种方法是否取值就是$C_s$？
如果$C_k$与$C_s$是不同的取值，那么对对第一种方法仍然还是有未知数$C_k$，无法求$k_{sgs}$；如果$C_k=C_s$，产生的疑问见第3个问题。

第一种方法如果$C_k=C_s$，根据式(3)，可知：
（1）第一种方法：取$C_s=0.065$，$\nu_{sgs1}$由式（1）计算，那么$k_{sgs1}=\nu_{sgs1}^2/(C_s\Delta)^2$
（2）第二种方法：$C_e=1.048，C_k=0.0265463553$，可得到等价的$C_s=0.065$，此时得到的$\nu_{sgs2}=\nu_{sgs1}$。那么根据式（2）得到$k_{sgs2}=\nu_{sgs2}^2/(C_k\Delta)^2$
（3）若要使得两种方法计算的$k_{sgs1}=k_{sgs2}$，由于$\nu_{sgs2}=\nu_{sgs1}$，因此要求
$$C_s=C_k \tag{4}$$
再联立式（3），可解得两个方法完全等价时需要满足条件：$C_s=C_k, C_e=1/C_k$。

Moeng(1984)文章中提到$k_{sgs}$的值是用于计算压力。比较两个方法的不同，构造不同系数组合$C_k, C_e$, 使得两种方法有相同的$C_s=0.065$，但计算的$k_{sgs}$差异较大的工况，对比压力是否可能能对比出结果差异？

coolhhh

@cfdem小白应该是笔误，of的默认系数见这个链接

coolhhh

@coolhhh 更正下符号，当满足Local equilibrium时，$P=\epsilon$

coolhhh

@李东岳李老师，我把您的程序跑了对比下

1. case1

用第一种方法mySmagorinsky
设置Ck=0.065,也就是Cs=0.065，此时$k_{sgs1}=\nu_{sgs1}^2/(C_s\Delta)^2$中的系数$1/(C_s^2)=236.68$

2. case2

用第二种方法：of10中的Smagorinsky
设置Ce=1.048，Ck=0.0265463553, 满足Cs=0.065。
$k_{sgs2}=\nu_{sgs2}^2/(C_k\Delta)^2$中的系数$1/(C_k^2)=1419$

3. case3

用第二种方法：of10中的Smagorinsky
根据30#的猜测，设置了一组可能不合理的组合：Ce=56020, Ck=1, 但能满足Cs=0.065。
此时$k_{sgs2}=\nu_{sgs2}^2/(C_k\Delta)^2$中的系数$1/(C_k^2)=1$，与前面两个算例相差特别大
根据$C_e=C_k^3/C_s^4$，可画出下面曲线。

4. 结果对比

根据模拟结果，似乎结果都差别不大。对于of10中的Smagorinsky，感觉只要构造出等价的Cs=0.065，结果基本不变，也就是说$k_{sgs}$似乎没有参与压力计算。

（1）瞬时速度

（2）平均速度

（3）脉动速度

（4）瞬时压力

（5）平均压力

（6）脉动压力

coolhhh

1. 补充说明

因为$k_{sgs}$的值与系数$C_k/C_e$有关。上面33#中的case2和case3，虽然$k_{sgs}$差个1419倍，但注意到这时$C_k/C_e$的数值已经很小了，所以计算结果差别不大。

2. 增加case4

（1）of10中的Smagorinsky，设置Ce=0.001，Ck=0.002613472，同样能够满足Cs=0.065。
$k_{sgs2}=\nu_{sgs2}^2/(C_k\Delta)^2$中的系数$1/(C_k^2)=146407$，这个时候计算的$k_{sgs}$数值相较于前面的工况大非常多。
（2）case4模拟结果
case4的瞬时速度剖面和平均压力剖面，和cae1（第一种方法）非常相近。这是否可以推测：第一种方法与第二种方法效果要基本一样时，此时的Ce和Ck取值要与case4的取值范围类似？

cfdem小白

@coolhhh 大佬，这边问你一个问题。你图中的脉动速度Uprime2Mean应该是基于一段时间计算且在某一时刻显示的，这段时间的平均值吧？如果想要知道某时刻的瞬时脉动速度，是否是用该时刻的瞬时速度U减去该时刻的Umean得到？

coolhhh

Uprime2Mean是fieldAverage的计算结果，不是瞬时的脉动速度。风工程领域经常把速度或压力方差，称作脉动速度或脉动压力。如果要求瞬时的脉动速度，那应该按照你说的这么算

@cfdem小白在 Smagorinsky模型系数问题中说：

如果想要知道某时刻的瞬时脉动速度，是否是用该时刻的瞬时速度U减去该时刻的Umean得到？

李东岳

针对你的case2与case3，你看看nut以及k的结果，看看有区别么？

把下面的放在controlDict里面可以输出$k_{sgs}$

cacheTemporaryObjects
(
    k
);

functions
{
    #includeFunc writeObjects("k")
}

我觉得这些东西，可以写个英文让大家知道一下了。投个一般的期刊当做一个note都可以。目前我是没发现有人研究这个。并且我认为研究很有意义。主要是看这东西之前是不是确实没人玩过。如果没人搞过，那研究一下绝对是发现。写成英文的目的不是为了发文章，而是真正的让大家知道一下这个事情：1）两种Smagorinsky的植入区别与对比，2）第二种植入的模型系数问题。我是没发现有人研究这个。

coolhhh

@李东岳

1. nut结果对比

nut结果中，case1~case3数值范围都比较接近，但是case4理论上应该与前几个算例结果近似才对，但由于比例系数$1/(C_k^2)=146407$过大，nut计算结果实际是偏大，但数量级都是1e-4

2. tmp<k>结果对比

case3的系数$1/(C_k^2)=1$最小，以这个工况为基准。case3的tmp<k>最大值为0.0035319。
case2的系数$1/(C_k^2)=1419$，理论上case2的最大值应该为0.0035319*1419=5.0117，实际计算的最大值5.0779，与理论结果基本一致。
case4的系数$1/(C_k^2)=146407$，数值特别大。理论上case4的最大值应该为0.0035319*146407=517.096，但实际计算的最大值是42185，比理论结果偏大，这可能是结果显示的最终时刻0.1s的结果，与前面工况的速度场有点不同，还有计算的数值误差等其他原因导致。

李东岳

case4的nut特别高，case1-3都可以预测类似的nut所以流动行为差不多。因为给了不同的Ck，所有k区别非常大。这是不是说明Smagorinsky预测的nut是合理的，但是预测的k存在任意性，也侧方面的表示了OpenFOAM没有输出k的原因？

这些k肯定有一种是趋向于合理的。但具体哪个合理目前还不清楚。两种方法的产生与耗散是否相等也未知。我觉得第二种方法的产生与耗散应该是一样的，因为本身那个二次方程就是从P=D推出来的。但是第一种可能够呛。

OpenFOAM原始的Ck、Ce的值是哪里搞出来的你知道么？ @coolhhh

coolhhh

@李东岳

李老师，我也没具体看到哪个文章用了这两个默认系数，但搜到一个帖子有个观点，帖子中的超链接无法查看：OpenFOAM大涡模拟湍流模型之Smagorinsky模型代码详解

无意中看到一个日本CFD网站，看起来$k_{sgs}$与压力计算值有关。

然后看Smagorinsky的推导，这个推导过程也类似的出现$Ck$和$C_e$参数。疑问依然还是第一种方法是如何计算$k_{sgs}$，如果这个问题知道了，那应该能推断出第一种方法与第二种方法的系数$Ck$和$C_e$的关系。

李东岳

OpenFOAM原始的Ck、Ce的值是哪里搞出来的你知道么？

我找了几个原始文献（主要是Lilly1967，DearDorff1970，以及Moeng and Wyngaard1988），里面讨论了这个Ck Ce的东西，我没太细看。不过看起来这个值是推导出来的，要满足。不过Cs的值都不一样。我再看看。

李东岳

最近没细看这个玩别的去了。我参考Spectral analysis of large eddy simulations of the convective boundary layer昨天晚上推了个八九不离十。这个ck ce是符合湍流能谱的一个常数。这是前人已经做过的工作。没法写英文了。我以为别人没玩过这个。哈哈

CFD中文网

Smagorinsky模型系数问题

1. 采用第二种方法：

2. 采用第一种方法：

1. case1

2. case2

3. case3

4. 结果对比

1. 补充说明

2. 增加case4

1. nut结果对比

2. tmp<k>结果对比